Общий вид центратора
Если мы скажем $B = J_{a_1}(\lambda_1) \oplus J_{a_2}(\lambda_2) ... \oplus J_{a_n}(\lambda_n)$ Я пытаюсь найти общий вид централизатора $B$. Сначала, когда наши лямбды различны, но затем и тогда, когда их нет, и каков размер в каждом из случаев.
Итак, я знаю, что B должен быть $\sum a_i \times \sum a_i $ матрица с записями $\lambda_i$ по диагоналям, но тогда я не уверен, как найти центратор для каждого случая?
Я не совсем уверен, с чего начать, и если бы кто-то мог указать мне хорошее направление, это было бы признательно.
Ответы
Я буду использовать язык модулей.
Выбор линейного оператора $A$ в векторном пространстве $V$ эквивалентно созданию $V$ а $\mathbb{C}[T]$-модуль, где $T$ действует оператор $A$. поскольку$\mathbb{C}[T]$ является PID, применяется основная теорема о конечно порожденных модулях над PID, поэтому мы можем сказать $V$ изоморфен как $\mathbb{C}[T]$-модуль к прямой сумме циклических подмодулей, а циклические модули (по китайской теореме об остатках) представляют собой WLOG вида $\mathbb{C}[T]/(T-\lambda)^d$. Если мы напишем матрицу умножения на$T$ на таком модуле по силовой базе $\{1,T,\cdots,T^{d-1}\}$ мы получаем $d\times d$ Блок Жордана, связанный с обобщенным собственным значением $\lambda$. Компонента, содержащая все прямые слагаемые (или, что эквивалентно, все циклические подмодули) с заданным значением$\lambda$ образует обобщенное собственное подпространство $V$ связаны с $\lambda$.
Централизатор $A$ соответствует обнаружению эндоморфизмов $V$ как $\mathbb{C}[T]$-модуль.
Обратите внимание, что $\hom$ является распределительным, любой элемент $\hom(\bigoplus V_i,\bigoplus V_j)$ можно записать в виде матрицы, $ij$-entry является гомоморфизмом $V_i\to V_j$. Таким образом, чтобы найти модульные эндоморфизмы$V$, нам просто нужно определить все возможные гомоморфизмы модулей $\mathbb{C}[T]/(T-\lambda)^d\to \mathbb{C}[T]/(T-\mu)^k$. Такая карта$T$-эквивариантным и его диапазоном является циклический подмодуль, порожденный образом $1$. Единственное условие:$1$ должен быть отправлен элементу, уничтоженному $(T-\lambda)^d$. Или$k\le d$ или это означает $1$ отправляется чему-то в циклическом подмодуле $(T-\lambda)^{k-d}$ который имеет размер $d$ в пределах $(T-\lambda)^k$. Таким образом, векторное пространство гомоморфизмов модулей есть$\min\{d,k\}$ если $\lambda=\mu$, иначе $0$.
Итак, если блоки Джордана, связанные с $\lambda$ иметь размеры $d_1\ge d_2\ge\cdots\ge d_n$ то размерность алгебры / централизатора эндоморфизмов равна $\sum_{i,j}\min\{d_i,d_j\}$ что является суммой членов в массиве
$$ \begin{array}{cccc} d_1 & d_2 & \cdots & d_n \\ d_2 & d_2 & \cdots & d_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d_n & d_n & \cdots & d_n \end{array} $$
что равно $\sum_{j=1}^n (2j-1)d_j$.
Обычно мы берем эту сумму для каждого обобщенного собственного значения $\lambda$ и совмещаем.
Чтобы описать алгебру централизаторов / эндоморфизмов как алгебру, сначала разложите ее как прямую сумму подалгебр, связанных с каждой $\lambda$, затем запишем элементы этих подалгебр как матрицы, элементы которых являются элементами фактормодулей $(T-\lambda)^{k-d}/(T-\lambda)^k$ (перевод $k-d$ в виде $0$ если $k\le d$) для различных вариантов выбора $d$ и $k$.
Вот пример. Рассмотрим матрицу с разложением Жордана
$$ \color{Red}{J_1(0)\oplus J_1(0)\oplus J_2(0)}\oplus \color{Green}{J_3(i)\oplus J_4(i)} \oplus \color{Blue}{J_5(\omega)} $$
- Связаны с $\color{Red}{\lambda=0}$ является $2\ge1\ge1$ с суммой $\sum_{j=1}^3 (2j-1)d_j=(1)2+(3)1+(5)1=\color{Red}{10}$.
- Связаны с $\color{Green}{\lambda=i}$ является $4\ge3$ с суммой $\sum_{j=1}^2(2j-1)d_j= (1)4+(3)3=\color{Green}{13}$.
- Связаны с $\color{Blue}{\lambda=\omega}$ является $5$ с суммой $\sum_{j=1}^1 (2j-1)d_j=(1)5=\color{Blue}{5}$.
Таким образом, полный центратор имеет размерность $\color{Red}{10}+\color{Green}{13}+\color{Blue}{5}=28$.
Результат в терминах матриц хорошо известен исследователям. Я также видел, как это задокументировано в учебнике для студентов, но я не могу вспомнить название книги.
Предположим $B$ прямая сумма $r$ Иорданские формы $J_1,J_2,\ldots, J_r$, каждое со своим собственным значением, и предположим, что каждая жорданова форма $J_k$ имеет $b_k$ Жордановы блоки для собственного значения $\lambda_k$ кратностей $m_{k1}\ge m_{k2}\ge\cdots\ge m_{kb_k}$соответственно. То есть предположим$$ B=\bigoplus_{k=1}^rJ_k=\bigoplus_{k=1}^r\underbrace{\left(J(\lambda_k;m_{k1})\oplus\cdots\oplus J(\lambda_k;m_{kb_k})\right)}_{J_k}\tag{1} $$ где $J(\lambda;m)$ обозначает верхнетреугольную жорданову клетку с собственным значением $\lambda$ множественности $m$.
Например, в $9\times9$ Иорданская форма $B$ ниже у нас есть $J_1=J(1;3)\oplus J(1;2)$ и $J_2=J(0;2)\oplus J(0;1)\oplus J(0;1)$. $$ B=\left[\begin{array}{ccc|cc|cc|c|c} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1\\ \hline &&&1&1\\ &&&0&1\\ \hline &&&&&0&1\\ &&&&&0&0\\ \hline &&&&&&&0\\ \hline &&&&&&&&0 \end{array}\right]. $$ Уравнение $BA=AB$ таким образом сводится поблочно к уравнениям вида $$ J(\lambda;m)X=XJ(\mu;n) $$ для $m\times n$ матрица $X$. Предположим, что$m\ge n$ (случай $n\le m$можно рассматривать аналогично). Вычитая обе части на$\mu I$, мы получили $J(\lambda-\mu;m)X=XJ(0;n)$. когда$\lambda\ne\mu$, у нас есть $J(\lambda-\mu;m)^nX=XJ(0;n)^n=0$ и, следовательно $X$должно быть равно нулю. когда$\lambda=\mu$, у нас есть $J(0;m)X=XJ(0;n)$. В частности, получаем два равенства:\begin{align} x_{i+1,j+1}=e_i^TJ(0;m)Xe_{j+1}&=e_i^TXJ(0;n)e_{j+1}=x_{ij},\\ J(0;m)Xe_1&=XJ(0;n)e_1=0.\\ \end{align} Первый означает, что $X$ является теплицем, а второй означает, что сдвиг вверх первого столбца $X$равно нулю. Отсюда следует, что все записи ниже главной диагонали$X$ равны нулю, т.е. $X$- верхнетреугольная теплицева матрица. Наоборот, можно проверить, что любая верхнетреугольная теплицева матрица$X$ удовлетворяет уравнению $J(0;m)X=XJ(0;n)$.
Следовательно, решения $BA=AB$ имеет общий вид $\bigoplus_{k=1}^rM_k$, где каждый $M_k$ имеет тот же размер, что и $J_k$, и, когда он разбит так же, как $J_k$ (так что диагональные подблоки $M_k$ имеет размеры $m_{k1},\ldots,m_{kb_k}$ соответственно), его $(i,j)$-й подблок является верхнетреугольной тёплицевой матрицей в виде $$ M_{kij}=\begin{cases} \pmatrix{T_{kij}\\ 0}&\text{when } m_{ki}>m_{kj},\\ T_{kij}&\text{when } m_{ki}=m_{kj},\\ \pmatrix{0&T_{kij}}&\text{when } m_{ki}<m_{kj},\\ \end{cases}\tag{2} $$ где $T_{kij}$ обозначает верхнетреугольную квадратную матрицу Теплица размера $\min(m_{ki},m_{kj})$.
Например, центраторы наших предыдущих $9\times9$ пример имеют следующий общий вид: $$ A=\left[\begin{array}{ccc|cc|cc|c|c} a&b&c&d&e\\ 0&a&b&0&d\\ 0&0&a&0&0\\ \hline 0&f&g&h&l\\ 0&0&f&0&h\\ \hline &&&&&p&q&s&t\\ &&&&&0&p&0&0\\ \hline &&&&&0&u&v&w\\ \hline &&&&&0&x&y&z\\ \end{array}\right]. $$ С участием $(1)$ и $(2)$, размерность подпространства централизатора равна $$ \sum_{k=1}^r\sum_{i,j=1}^{b_k} \min (m_{ki}, m_{kj}) =\sum_{k=1}^r\sum_{i=1}^{b_k}(2i-1)m_{ki}, $$ что равно $(1\times3+3\times2)+(1\times2+3\times1+5\times1)=19$ в приведенном выше примере.