Ограничение ошибок в PNT при некотором предположении, подобном RH

Question

В конспектах лекций было упражнение, с которым я борюсь. Вот,$\psi$обозначает функцию Чебычева . Я предполагал, что$$\psi(x)-x\in o(x^{1-\varepsilon})$$ для некоторых $0<\varepsilon<1/2$ (что могло бы произойти из менее сильной версии гипотезы Римана, то есть некоторой области без нулей вида $\{\sigma>c\}$). Используя суммирование по частям, я написал$$\pi(x)=\frac{\psi(x)}{\log(x)}+\int_2^x\frac{\psi(t)}{t\log^2(t)}\text{d}t,$$ что позволило мне доказать, что $$\pi(x)-\text{Li}(x)\in O(x^{1-\varepsilon}).$$

Теперь, в остальной части упражнения, меня просят доказать, что $$\pi(x)-\frac{x}{\log(x)}\notin o(x^{1-\delta})$$ для любого $\delta>0$ (в этом смысле $\text{Li}(x)$ является лучшим приближением к $\pi(x)$ чем просто $\frac{x}{\log(x)}$). Как это доказать?

Если предположить обратное, то есть $$\pi(x)-\frac{x}{\log(x)}\in o(x^{1-\delta})$$ для некоторых $\delta>0$, то я понятия не имею, какое противоречие я должен получить.

Я пробовал классические неравенства: $$\pi(x)\log(x)\geqslant\psi(x)\geqslant\sum_{x^{1-\eta}\leqslant p\leqslant x}\log(p)=(1-\eta)[\pi(x)+O(x^{1-\eta})]\log(x),$$но я сомневаюсь, что это приведет меня куда-нибудь. Есть ли у кого-нибудь подсказка / идея? Упражнение не дает ничего, кроме мелочей .

Answer 1

На основании того, что вы доказали, у нас есть $$ \pi (x) - \frac{x}{{\log x}} = \operatorname{Li}(x) + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }) - \frac{x}{{\log x}} = \operatorname{Li}(x) - \frac{x}{{\log x}} + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }). $$ Теперь, используя интегрирование по частям, можно показать, что $$ \operatorname{Li}(x) = \frac{x}{{\log x}} + \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right). $$ Следовательно, $$ \pi (x) - \frac{x}{{\log x}} = \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right) + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }) = \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right) \notin o(x^{1 - \delta }). $$