Орбита с крахом

Question

Предположим, я снимаю объект с высокой башни, расположенной горизонтально по отношению к поверхности земли. Насколько я понимаю, в зависимости от скорости у меня будут разные типы орбит. С уменьшением скорости я перейду с

1. гиперболическая орбита, где фокус - центр Земли
2. параболическая орбита, где фокус - центр Земли
3. эллиптическая орбита, где центр Земли является ближайшей к башне точкой фокусировки
4. круговая орбита, где центр Земли является центром круга
5. орбита падения

У меня вопрос о последней орбите. Если бы земля была прозрачной для брошенного предмета, ...

Будет ли орбита 5 эллипсом с центром Земли в фокальной точке, наиболее удаленной от башни ?

Answer 1

Ответ - да , даже если в вашем случае нет смысла говорить об "орбите", когда объект падает на поверхность планеты.

Однако в качестве мысленного эксперимента вы можете представить себе Землю как точечную частицу, а ваш объект снимается в космосе вдали от поверхности. Затем, когда его траектория начинает «изгибаться» вниз, он не ударяется о поверхность Земли и может распространяться.

Лучше всего это проиллюстрировано на следующем изображении отсюда , где голубая планета будет моей "точечной" Землей:

Для полноты картины стоит упомянуть, что для сферически-симметричных вакуумных решений, где важны эффекты ОТО, существует поправка к потенциалу Ньютона, которая фактически приводит к самой внутренней стабильной круговой орбите ($R_{\text{ISCO}}$), ниже которых падающие орбиты .

Answer 2

прозрачный для брошенного предмета

Здесь стоит упомянуть альтернативу орбитам с точечными массами. Если предположить, что Земля была буквально прозрачной для объекта, но вся масса все еще была там, распределенная по всему объему.

Предполагая однородную плотность, теперь у нас есть центральное силовое поле, в котором сила тяжести пропорциональна $r^1$ из-за теоремы оболочек, в отличие от случая точечной массы, когда гравитация пропорциональна $r^{-2}$.

Такие силовые поля также имеют стабильные периодические орбиты (фактически, единственный показатель, отличный от $r^{-2}$ что они есть), но с некоторыми заметными отличиями.

• Все орбиты без исключения эллиптические, так как не может быть траекторий ухода.
• На эллиптических орбитах центр Земли находится в геометрическом центре, а не в фокусе, что означает, что вы снова оказываетесь на поверхности на противоположной стороне планеты.

Однако на практике плотность Земли неоднородна, поэтому у нас нет аккуратной $r^1$ силовое поле для туннельных орбит.