Подмножество $\mathbb{R}$ что плотно в $\mathbb{R}$.

Question

Подмножество $S$ из $\mathbb{R}$ считается плотным в $\mathbb{R}$ если $\forall$ $\epsilon > 0$ а также $x \in \mathbb{R}$, $\exists$ $s \in S$ такой, что $| x - s| < \epsilon$.

Используя это определение, я хотел бы попытаться доказать, что множество $S = \{ a + b \sqrt{3} : a ,b \in \mathbb{Z} \}$ плотно в $\mathbb{R}$.

Любая помощь будет оценена.

• Я знаю, что набор $S$закрывается при сложении и умножении. Я не уверен, что это поможет.

Answer 1

Быстрый способ показать это $S$ плотно в $\Bbb{R}$:

• $S = \{ a + b \sqrt{3} : a ,b \in \mathbb{Z} \}$ содержит элемент $\zeta := 2 - \sqrt{3}$

• поскольку $S$ замкнуто относительно сложения и умножения, $\zeta^n$ в $S$ для каждого $n \geq 2$

• Для любой $x \in \Bbb{R}$, $x$ самое большее $\zeta^n/2$ вдали от какого-то элемента $\zeta^n \Bbb{Z} \subset S$

• поскольку $0 < \zeta < 1$, $\zeta^n \to 0$ в качестве $n \to \infty$.

Answer 2

ПОДСКАЗКА: это следует из того, что $\{nr\bmod 1:n\in\Bbb Z\}$ плотно в $[0,1)$ всякий раз, когда $r$иррационально. (Вот$x\bmod 1=x-\lfloor x\rfloor$ это дробная часть $x$.) Этот факт можно доказать с помощью принципа «ящика»; Я дал доказательство здесь .