построение гомотопии
Позволять $X,Y$ быть топологическими пространствами и $f,g:X \rightarrow Y$быть непрерывными отображениями. Предположим$f,g$ гомотопны по гомотопии $H:X \times [0,1] \rightarrow Y$. Позволять$\gamma$ быть путем в $Y$ с конечными точками $y_0=f(x_0)$ и $z_0=g(x_0)$ определяется $\gamma(t)=H(x_0,t)$.
Позволять$\alpha:[0,1] \rightarrow X$ быть петлей в $X$ с участием $\alpha(0)=\alpha(1)=x_0$.
Я хочу показать, что дорожки$f \circ \alpha$ и $\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma})$ гомотопны по путям, построив гомотопию $G:[0,1] \times [0,1] \rightarrow Y$.
я знаю это$\gamma$ индуцирует замену изоморфизма базовой точки $T_{\gamma}:\pi_1(Y;z_0) \rightarrow \pi_1(Y;y_0)$ данный $T_{\gamma}([\beta])=[\gamma \ast \beta \ast \bar{\gamma}]$ для всех $[\beta]\in \pi_1(Y;z_0)$.
Я не знаю, как построить эту гомотопию$G$ конкретно, но я знаю, что он должен удовлетворять следующим требованиям: $$G(s,0)=(f \circ \alpha)(s)$$ $$G(s,1)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(s)$$ $$G(0,t)=(f \circ \alpha)(0)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(0)$$ $$G(1,t)=(f \circ \alpha)(1)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(1).$$
Ответы
ТЕОРЕМА: Пусть $h:X \to Y$- непрерывная функция. Если$α,β$ гомотопические пути в $X$ тогда $hoα$ и $hoβ$ гомотопны в $Y$.
Нам дано, что существует непрерывная карта$H:X×I \to Y$ такой, что $H(x,0)=f(x)$ и $H(x,1)=g(x)$.
Следовательно, чтобы показать, что пути$foα$ и $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$ гомотопны, мы должны искать пути в $X×I$ такой, что их образ под H равен $foα$ и $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$.
Позволять$c(t)=(x_0,t)$, $p(s)=(α(s),0)$, $q(s)=(α(s),1)$. Следовательно$p$ и $c \ast q \ast \hat c$наши обязательные пути.
Теперь позвольте$G:I×I \to X×I$ быть определенным как $G(s,t)=(α(s),t)$. Теперь, если мы сможем найти пути в$I×I$ такие, что их образ под G $p$ и $c \ast q \ast \hat c$ мы закончили, потому что это означает $p$ и $c \ast q \ast \hat c$гомотопны.
Позволять$a(t)= (0,t)$, $b(s)=(s,1)$, $c(t)=(1,t)$ и $d(s)=(s,0)$.
Видно, что$d$ и $a \ast b \ast \hat c$являются обязательными путями. Теперь, поскольку оба эти пути$d$ и $a \ast b \ast \hat c$ имеют одинаковую начальную и конечную точки, а так как $I×I$односвязно, они гомотопны. Подразумевает$p$ и $c \ast q \ast \hat c$ гомотопны влечет $foα$ и $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$ гомотопны.