Предел марковской цепи

Question

Во-первых, извините за мой плохой английский. У меня возникли проблемы с доказательством этого упражнения (оно было взято из некоторых записей, которые я имел еще в университете, в следующем году я учусь на магистра).

Позволять $X$ - апериодическая неприводимая цепь Маркова на конечном пространстве состояний $S$. Позволять$\pi$быть стационарной мерой. Предполагать$X$ началось в $\pi$. Позволять$a,b \in S$. Покажи это:

$\lim_{n \to \infty} \mathbb{P}(X_0=a, X_n=b) = \pi(a)\pi(b)$

Я много чего пробовал, в том числе и муфты, но не могу понять. Любые советы и помощь были бы замечательными. Спасибо!

Answer 1

Разве ты не можешь просто написать \begin{align} \mathbb P(X_0 = a, X_n = b) &= P(X_0 = a) P(X_n = b \vert X_0 = a) \\ &= \pi(a) P^n_a(b), \end{align} где $P^n_a$ это $n$-шаговое ядро ​​цепи Маркова началось в $a$, и вы предполагаете, что $X_0$ взят из $\pi$. По неприводимости и апериодичности это ядро ​​сходится к стационарной мере в пределе, так что вы просто получаете$$ \lim_{n \rightarrow \infty} P^n_a(b) = \pi(b),$$и результат следует. Что мне не хватает?