Проблема подпространств

Question

Я готовился к некоторым квалификационным экзаменам, и я помню, как столкнулся с этой проблемой в прошлом году, и я ничего не мог решить. Даже сейчас я как бы в тупике. Мне было интересно, есть ли у вас какие-нибудь идеи. Вот в чем проблема:

Позволять $ V $ - векторное пространство и пусть $ 1\leq n< \operatorname{dim}(V) $быть целым числом. Позволять$ \{V_i\} $ быть собранием $ n $-мерные подпространства $ V $ со свойством, что $$ \operatorname{dim}(V_i\cap V_j) = n-1 $$ для каждого $ i\neq j $. Докажите, что выполняется хотя бы одно из следующего:

(Я все $ V_i $ разделять общий $ (n-1) $-мерное подпространство.

(ii) Существует $ (n+1) $-мерное подпространство $ V $ содержащий все $ V_i $.

Answer 1

Сначала покажем следующее:

Для любого $i,j,k$, если у нас есть $V_k\cap V_i\neq V_i\cap V_j,$ тогда $V_i\subseteq V_k+V_j$.

Обратите внимание, что $\dim(V_k+V_j)=\dim(V_k)+\dim(V_j)-\dim(V_k\cap V_j)=n+1$, так что это наш уникальный кандидат на общую $n+1$-мерное суперпространство.

Сейчас если $V_k\cap V_i\neq V_i\cap V_j$, мы знаем, что существует вектор $\nu_{k,i}\in V_k\cap V_i$ которое линейно не зависит от $V_j$. Но с тех пор$V_i\cap V_j$ является $n-1$ мерное подпространство $n$-мерное пространство $V_i$мы получаем это $$ V_i=\textrm{span} \{\nu_{k,i}\}+V_i\cap V_j\subseteq V_k+V_j $$

Теперь нам остается только утверждать, что если $V_k\cap V_{i_0}\neq V_{i_0}\cap V_j$ для некоторых $i_0$, то для любого $i$ такой, что $V_k\cap V_i=V_i\cap V_j$, мы все еще должны иметь $V_i\subseteq V_k+V_j$.

Это следует, поскольку $V_i\cap V_{i_0}\neq V_k\cap V_i$. В противном случае,$V_{i_0}$ будет содержать $n-1$ размерное подпространство $V_i\cap V_j=V_i\cap V_k$ и таким образом, считая размерности, мы имели бы $$ V_{i_0}\cap V_k=V_i\cap V_k=V_i\cap V_j=V_{i_0}\cap V_j $$ Следовательно, применяя предыдущее, мы имеем $$ V_i\subseteq V_{i_0}+V_k\subseteq V_j+V_k $$

В общем, мы добились желаемого.