Проблема в представлениях $D_4$

Question

Проблема

Позволять $G=D_4=\langle a,b\ |\ a^4=b^2=1,\ ab=ba^{-1}\rangle$ и $V=\mathbb{C}^2$ с базами $\{e_1,e_2\}$. Мы видим$V$ как $\mathbb{C}G-$модуль с действием $ae_1=e_2,\ ae_2=-e_1$ и $be_1=e_1, \ be_2=-e_2$.

1. Вычислить характер $\chi_V$ и показать, что $\mathbb{C}G-$модуль $V$ неприводимо.

я нашел это $\chi_V(1)=2,\ \chi_V(a)=0,\ \chi_V(b)=0,\ \chi_V(a^2)=-2,\ \chi_V(ab)=0$ и это $[\chi_V,\chi_V]=1$ следовательно $\mathbb{C}G-$модуль $V$ неприводимо.

1. Проверить, если $V\otimes_{\mathbb{C}}V$ имеет $\mathbb{C}G-$подмодуль, изоморфный $\mathbb{C}G$.
2. Для каждого $n\ge1$ у нас есть $\mathbb{C}G-$модуль $V_n=V^{\otimes n}$. Найти все$n$ для которого существует $w\in V_n$ ул $w\not=0$ и $gw=w,\ \forall g\in G$.

Я должен найти $n$ ул $V_n^G=\{v\in V_n\ | \ gv=v\ \forall g\in G\}\not=\emptyset\iff dim_{\mathbb{C}}V_n^G\ge1$. я знаю это$dim_{\mathbb{C}}V_n^G=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\chi_{V_n}(g)=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}[\chi_{V}(g)]^n=\begin{cases} 0, \ n\ \text{ is odd}\\ \ge1,\ n \ \text{is even} \end{cases}$. Так должно быть$n\in2\mathbb{Z}$.

(а) Мой подход в $1,3$ правильный?

(б) Любые идеи для $2$?

(c) Есть ли общий метод проверки того, $A$ содержит изоморфный образ модуля $B$используя персонажей? В частности, как я мог определить,$\mathbb{C}G-$ модуль $V$, $V\otimes_{\mathbb{C}} V$ содержит $\mathbb{C}G-$ подмодуль, изоморфный $V$?

Заранее спасибо!

Answer 1

1. Отображение $\langle \chi_V, \chi_V\rangle = 1$ Это хорошо.

2. В общем, $\langle \chi_V, \chi_{\mathbb{C} G}\rangle = \dim V$. Это просто потому, что$\chi_{\mathbb{C}G}(g) = |G| \delta_{g=1}$, поэтому скалярное произведение просто отбирает $\chi_V(1) = \dim V$. Этот пример показывает, что действительно$\langle \chi_V, \chi_W\rangle$ не нужно много рассказывать о том, $V$ содержит $W$. Это также показывает, что$V$ содержит $\mathbb{C}G$ тогда и только тогда, когда для всех неприводимых $W$, $\langle \chi_V, \chi_W\rangle \geq \dim W$. Последнее условие, конечно, легко проверить, если вы знаете все$\chi_W$явно, и для такой небольшой группы вы можете решить их вручную.

3. Вычисление $\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \chi_V(g)^n$ отлично.

В этом конкретном случае легко увидеть $\langle \chi_V^2, \chi_V\rangle = 0$, так $V \otimes V$ не содержит несократимого $V$, поэтому он не может содержать $\mathbb{C}G$ и вам не нужно проверять какие-либо другие неравенства или искать других несводимых персонажей.