Проекции полностью разобщенных пространств

Question

Позволять $X$ и $Y$- два метрических пространства. Если$K$ является полностью несвязным подмножеством $X\times Y$ должны прогнозы $\pi_{X}(K)$ и $\pi_{Y}(K)$также быть полностью отключенным? Что, если предположить, что X и Y компактны?

Answer 1

Нет, даже когда оба компактны.

Рассматривать $X=Y=[0,1]$ и разреши $C=(\mathbb{R}\backslash\mathbb{Q})\cap X$. Обратите внимание, что$C$полностью отключен и неисчислим. Теперь позвольте$f:C\to[0,1]$ быть любым предубеждением и рассмотреть

$$K=Gr(f)=\{(x,f(x))\ |\ x\in C\}\subseteq X\times Y$$

Нетрудно увидеть, что $K$ полностью отключен, но $\pi_2(K)=[0,1]$.