Произведение средних

Question

Позволять $(x_1,...,x_n)$ и $(y_1,...,y_n)$ - два разных набора положительных вещественных чисел, такие что $x_1\times\dots\times x_n=y_1\times\dots\times y_n = c$. Это правда, что$$\left(\frac{x_1+y_1}{2}\right)\times\cdots\times \left(\frac{x_n+y_n}{2}\right) > c?$$

Я думаю, это следует из аргумента вогнутости, возможно, из-за функции $f(x_1,...,x_n) = x_1\times\cdots\times x_n$, но не знаю, как именно.

Answer 1

Неравенство между арифметическими и геометрическими средними государствами , которые$\frac{x+y}{2} \ge \sqrt{x y}$ за $x, y \ge 0$, с равенством тогда и только тогда, когда $x=y$.

Это следует из того $$ \prod_{k=1}^n \frac{x_k+y_k}{2} \ge \prod_{k=1}^n \sqrt{x_k y_k} = \sqrt{\prod_{k=1}^n x_k \cdot \prod_{k=1}^n y_k} = c $$ с равенством тогда и только тогда, когда $(x_1, \ldots, x_n) = (y_1, \ldots, y_n)$.

Если вы хотите использовать аргумент вогнутости, рассмотрите $$ g(x_1, \ldots, x_n) = \log x_1 + \ldots + \log x_n \, . $$ $g$ является вогнутым как сумма вогнутых функций.

Answer 2

Держателем $$\prod_{k=1}^n\frac{x_k+y_k}{2}\geq\frac{\left(\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^nx_k}+\sqrt[n]{\prod\limits_{k=1}^ny_k}\right)^n}{2^n}=c$$