Размеры и раздутие
Рассмотрим проективное многообразие $X$, и разреши $Y$- замкнутое подмногообразие. Рассмотрим взрыв$X$ вдоль Y: получаем новую разновидность $\tilde{X}\subset X\times \mathbb{P}^{\dim Y}$вместе с бирациональным отображением $$b:\tilde{X}\to X$$ который является изоморфизмом вне исключительного множества $\tilde{Y}= b^{-1}(Y) \simeq \mathbb{P}(\mathcal{N}_{Y\mid X})$.
Вопрос: Верно ли, что $\dim\tilde{X}=\dim X$?
Моя идея: раздутие - это бирациональное отображение, следовательно, изоморфизм на открытом (плотном) подмножестве; поскольку размерность многообразия определяется как степень трансцендентности функционального поля, которая одинакова на открытом множестве, то мы можем сделать вывод.
Моя идея верна? Я спрашиваю об этом, потому что я убежден в этом для случая взрыва точки, а для общего случая подмножества я не уверен, потому что интуитивно мне кажется, что я добавляю довольно много большой космос (знаю, не строго, но только начал изучать эту тему).
Ответы
Следует помнить о нескольких вещах. Во-первых, я думаю, вы хотите, чтобы взорвавшаяся конструкция жила в$X \times \mathbb P^{\operatorname{codim} Y}$; по крайней мере, это работает, когда$Y$ является полным пересечением.
Однако в целом, как вы сказали, исключительное геометрическое место возникает как проективизация нормального пучка $\mathcal N_{Y|X}$. Набор$\dim X = n$ и $\dim Y = m$. Ранг нормального расслоения всегда коразмерность$Y\subset X$, следовательно $\mathbb P(\mathcal N_{Y|X})$ имеет относительный размер $n - m - 1$ (это означает, что это размер волокон $ \mathbb P(\mathcal N_{Y|X}) \to Y$, структурное отображение проективного расслоения). Теперь добавив к этому измерение$Y$, мы получаем размерность проективного расслоения как многообразия, а именно $(n-m-1) + m = n-1$, показывая, что он имеет коразмерность $1$ в $X$. По этой причине исключительное геометрическое место разрушения обычно называют исключительным дивизором .