Разрешима ли унирациональность?
Когда ответ на проблему Люрота утвердительный, род (для кривых) или критерии Кастельнуово (для сепарабельно унирациональных поверхностей) дают вычислимые инварианты, которые определяют, является ли данное многообразие унирациональным.
Меня интересуют простейшие случаи, когда известны нерациональные примеры: а именно поверхности над $\overline{\mathbb{F}_p}$ и 3-кратно $\mathbb{C}$.
Известно ли, существует ли алгоритм, позволяющий определить, является ли данное разнообразие указанного выше типа унирациональным?
Наивной надеждой было бы дать оценку степени рациональной карты. $\mathbb{P}^n \to X$ однако это явно невозможно, поскольку рациональные карты $\mathbb{P}^n \to \mathbb{P}^n$ имеют неограниченную степень.
Следующим лучшим вариантом будет вычислимая верхняя оценка минимальной степени такого рационального отображения. Известны ли такие границы для двух случаев, о которых я говорил выше? Достаточно ли таких границ в принципе для построения алгоритма?
Ответы
Это широко изучаемая проблема, и я думаю, что при существующих технологиях маловероятно, что на нее можно будет найти ответ. Позвольте мне остановиться на характеристике$0$для простоты; рассказ становится намного богаче положительными характеристиками (даже если вы везде добавляете прилагательное «раздельно»).
Унирациональные многообразия рационально связны, что, в свою очередь, влечет $H^0(X,(\Omega_X^1)^{\otimes m}) = 0$ для всех $m > 0$. Мамфорд предположил, что из этого обращения в нуль, наоборот, следует, что$X$рационально связана, но я думаю, что об этой гипотезе мало что известно. По крайней мере, если вы верите Мамфорду (и, возможно, с какой$m$ вы должны попробовать, аналогично критерию Кастельнуово), тогда рациональная связность должна быть в некоторой степени разрешимой.
Однако широко известная открытая проблема состоит в том, является ли всякое рационально связанное разнообразие унирациональным (я думаю, что люди ожидают, что это будет ложным - я, конечно, верю). Причина, по которой мы не можем ответить на этот вопрос, заключается в том, что у нас нет никаких препятствий, которые могли бы различать их. Поэтому я думаю, что маловероятно, что мы сможем дать характеристику, которая решит, является ли разнообразие унирациональным.
Я не уверен, каков статус унирациональности в семьях, но (устойчивая) рациональность не является деформационным инвариантом гладких проективных многообразий Хассетта – Пирутки – Чинкеля . Так дискретная [т.е. локально постоянной в семьях] инварианты типа когомологий исчезающей являются не достаточно , чтобы обнаружить (стабильный) рациональность, и весьма вероятно , то же самое верно для унирациональности.
Что касается поверхностей над $\bar{\mathbf F}_p$, некоторые K3-поверхности унирациональны, но большинство - нет, так что, опять же, это не деформационный инвариант. Шиода предположил, что если$X$ поверхность над алгебраически замкнутым полем $k$ характерных $p > 0$ с участием $\pi_1^{\operatorname{\acute et}}(X) = 0$, тогда $X$ унирационально тогда и только тогда, когда $H^2_{\operatorname{cris}}(X/K)$ суперсингулярна, т. е. все наклоны Фробениуса равны $1$. (Это явно необходимое условие, так как$H^2_{\operatorname{cris}}(X/K) \hookrightarrow H^2_{\operatorname{cris}}(Y/K)$ инъективен и сохраняет действия Фробениуса, если $Y \twoheadrightarrow X$- доминантное отображение гладких проективных многообразий; см., например, предложение 1.2.4 в статье Клеймана « Алгебраические циклы и гипотезы Вейля в Dix Exposés» .)
Но это ничего не говорит о том, что произойдет, если $\pi_1^{\operatorname{\acute et}}(X) \neq 0$, хотя он должен быть конечным и его порядок неделим $p$(см., например, эту заметку Шамбера-Луара ). Итак, вы сначала должны вычислить универсальное покрытие, а затем вычислить уклоны - я не уверен, есть ли более прямой способ сделать это. Предполагая гипотезу Шиоды, это дает критерий.