разрешимая группа и абелева

Question

Из вики, группа $G$ разрешимо, если есть подгруппы $1 = G_0 \trianglelefteq G_1$⋅⋅⋅$\trianglelefteq G_k = G$ такой, что $G_{j−1}$ нормально в $G_j$, и $G_j /G_{j−1}$ абелева группа, так как $j = 1, 2, …, k$.

У меня проблема в том, что мы просто выбираем $1\trianglelefteq$G и мы получаем $G$ совпадает, значит, любая группа разрешима, я не прав?

Answer 1

По поводу вашей проблемы: там только сказано, что если группа $G$абелева, то она разрешима. А не наоборот:$S_3$ разрешима, но не абелева.

Answer 2

В обозначениях определения для последовательности $1\trianglelefteq G$ у нас есть $G_0 = 1$ и $G_1 = G$, и мы требуем, чтобы $G_1/G_0$- абелева группа. поскольку$G_1/G_0 = G/1 \cong G$, эта последовательность показывает только то, что $G$ разрешимо, если $G$ абелева.