Решить $ x=54+\sqrt{54-\sqrt{x}} $

Question

Я так много пробовал с этим уравнением, но, похоже, ничего не работает: $$ x=54+\sqrt{54-\sqrt{x}} $$Я попробовал возвести в квадрат, но он дает квадратное уравнение, которое я не могу решить.
Есть идеи, пожалуйста?

Answer 1

$$ x = 54 + \sqrt{54 - \sqrt{x}} \\ k = 54 - \sqrt{x} \\ t = x-54 \\ k+t = x - \sqrt{x}$$

И так:

$$ t = \sqrt{k} \\ t^2 = k \\ t^2 + t = t(t+1) = k+t = x - \sqrt{x} = \sqrt{x}( \sqrt{x} - 1)$$

$$t = \sqrt{x} -1 ~~ \text{and} ~~ t+1 = \sqrt{x} $$

$$ t = x-54 \\ (t+1)^2 = x \\ (x-53)^2 = x$$

Это простое квадратное уравнение, вы получите $2$ результатов, один из них не будет правильным, потому что он сделает левую часть вашего уравнения отрицательной (после того, как вы «переместите» 54 влево), и мы знаем, что квадратные корни над действительными числами дают положительное решение.

Answer 2

Мы можем положить $y=54-\sqrt{x}$ получить систему уравнений \begin{align} x-54&=\sqrt{y}\\ y-54&=-\sqrt{x}. \end{align} Возведение в квадрат и вычитание друг из друга (используя тот факт, что $x,y \geq 0$) это упрощает $$ (y-x)(108-x-y)=y-x. $$ поскольку $y \neq x$ (в противном случае приведенная выше система выдала бы $-\sqrt{x}=\sqrt{y}$ и так $x=y=0$, невозможно), имеем $108-x-y=1$. Подставляя это в одно из уравнений, мы получаем$x-54=\sqrt{107-x}$, поэтому нам нужно решить квадратное уравнение $$ (x-54)^2=107-x. $$ Это должно быть простое упражнение, дающее два реальных корня, только один из которых удовлетворит $x -54 \geq 0$.

Answer 3

С участием $x=t^2$, $$(t^2-54)^2=54-t$$ уравнение четвертой степени.

Хотя CAS сообщает нам, что решения имеют относительно простое выражение, я не вижу лучшего способа достичь его, чем стандартный метод разрешения квартики.