Симметрия дробного лапласиана

Question

Позволять $\Omega\subset\mathbb{R}^n$, позволять $s\in [1/2,1)$, позволять $u\in C^{1,2s-1+\epsilon}(\Omega)$ такой, что: $u=0$ на $\mathbb{R}^n\setminus\Omega$, и: $u\in C^{0,s}(\mathbb{R}^n)$, правда, что: $$\int_{\mathbb{R}^n}\phi(-\Delta)^su\,dx=\int_{\mathbb{R}^n}u(-\Delta)^s\phi,\quad\forall\phi\in C^\infty_c(\mathbb{R}^n)?$$ Я знаю только то: $$ \int_{\mathbb{R}^n}\phi(-\Delta)^sf\,dx=\int_{\mathbb{R}^n}f(-\Delta)^s\phi\,dx,\quad\forall f,\phi\in \mathcal{S}(\mathbb{R}^n).$$ Я понятия не имею, что делать дальше, любая помощь приветствуется.

Answer 1

Если $x, y \in \Omega$, тогда $$ |u(y) - u(x) - \nabla u(x) \cdot (y - x)| \leqslant C |y - x|^{2 s + \epsilon} ,$$ и поэтому интеграл $$ \iint_{\Omega \times \Omega} \frac{u(y) - u(x) - \nabla u(x) \cdot (y - x)}{|y - x|^{n + 2 s}} \, \phi(x) dx dy $$ сходится абсолютно.

Обозначить $d(x) = \operatorname{dist}(x, \partial \Omega)$. Если$x \in \Omega$, $y \in \Omega^c$, тогда $|u(x)| \leqslant C d(x)$ (потому как $\nabla f$ ограничен) и $u(y) = 0$. Таким образом,$$ |u(y) - u(x) - \nabla u(x) \cdot (y - x)| \leqslant |u(x)| + |\nabla u(x)| \, |y - x| \leqslant C d(x) + C |y - x| .$$ Более того, $$ \int_{\Omega^c} \frac{1}{|y - x|^{n + 2 s}} \, dy \leqslant \frac{1}{(d(x))^{2s}} $$ и $$ \int_{\Omega^c} \frac{|y - x|}{|y - x|^{n + 2 s}} \, dy \leqslant \frac{1}{(d(x))^{2s - 1}} \, . $$ В заключение, $1 / (d(x))^{2s - 1}$интегрируемо. Отсюда следует, что интеграл$$ \iint_{\Omega \times \Omega^c} \frac{u(y) - u(x) - \nabla u(x) \cdot (y - x)}{|y - x|^{n + 2 s}} \, \phi(x) dx dy $$ сходится абсолютно тоже.

Аналогично, если $x \in \Omega^c$ и $y \in \Omega$, мы находим, что $$ |u(y) - u(x) - \nabla u(x) \cdot (y - x)| \leqslant |u(y)| \leqslant C d(y) ,$$ и с тех пор $$ \int_\Omega \frac{1}{|y - x|^{n + 2 s}} \, dy \leqslant \min \biggl\{ \frac{1}{(d(x))^{2s}} , \frac{C |\Omega|}{|x|^{n + 2 s}} \biggr\} , $$ мы имеем абсолютную сходимость $$ \iint_{\Omega^c \times \Omega} \frac{u(y) - u(x) - \nabla u(x) \cdot (y - x)}{|y - x|^{n + 2 s}} \, \phi(x) dx dy . $$

Наконец, интеграл по $\Omega^c \times \Omega^c$ тождественно равен нулю.

---

Делаем вывод, что интеграл $$ \iint_{\mathbb R^n \times \mathbb R^n} \frac{u(y) - u(x) - \nabla u(x) \cdot (y - x)}{|y - x|^{n + 2 s}} \, \phi(x) dx dy $$сходится абсолютно. Теперь применим обычный аргумент:$$\begin{aligned} \int_\Omega (-\Delta)^s u(x) \phi(x) dx & = \iint_{\mathbb R^n \times \mathbb R^n} \frac{u(y) - u(x) - \nabla u(x) \cdot (y - x)}{|y - x|^{n + 2 s}} \, \phi(x) dx dy \\ & = \lim_{\delta \to 0^+} \iint_{|x - y| > \delta} \frac{u(y) - u(x) - \nabla u(x) \cdot (y - x)}{|y - x|^{n + 2 s}} \, \phi(x) dx dy \\ & = \lim_{\delta \to 0^+} \iint_{|x - y| > \delta} \frac{u(y) - u(x)}{|y - x|^{n + 2 s}} \, \phi(x) dx dy \\ & = \lim_{\delta \to 0^+} \iint_{|x - y| > \delta} \frac{\phi(y) - \phi(x)}{|y - x|^{n + 2 s}} \, u(x) dx dy \\ & = \lim_{\delta \to 0^+} \iint_{|x - y| > \delta} \frac{\phi(y) - \phi(x) - \nabla \phi(x) (y - x)}{|y - x|^{n + 2 s}} \, u(x) dx dy \\ & = \int_\Omega (-\Delta)^s \phi(x) u(x) dx . \end{aligned}$$ (Здесь второе равенство следует за доминированной сходимостью, четвертое - за счет Фубини, а шестое - снова за счет доминирующей сходимости.)