Состав элемента подгруппы

Question

Пожалуйста, подтвердите следующее доказательство.

---

Позволять $H$ - подгруппа абелевой группы $G$ с элементами $h \in H$ а также $g \in G$ но $g \notin H$.

Теорема

Продукт $gh \notin H$.

Доказательство

Позволять $x = gh$. Предполагать$x \in H$, затем умножением на $h^{-1} \in H$ у нас есть это $xh^{-1} = gh(h^{-1}) = g(h h^{-1}) = g$. Итак, мы составили два элемента$H$ и получил элемент $g \notin H$ а это нарушает замкнутость подгруппы, поэтому $gh \notin H$. $\square$

Answer 1

Гипотеза: $H\leq G, g\in G-H, h\in H$.

Предположим, что $gh\in H$ и мы получим противоречие /

поскольку $h\in H$ а также $H$ это подгруппа, у нас есть $h^{-1}\in H$.

поскольку $h^{-1}, gh\in H \Rightarrow (gh)\cdot h^{-1}=g\in H$ противоречие.

Я использовал тот факт, что "если $a,b\in H\leq G$ тогда $ab,ba\in H$"

Answer 2

по факту

Если $H$ является подгруппой $G$ а также $h \in H$, то для всех $g \in G$ у нас есть $gh \in H \iff g \in H$.

На самом деле, $gh \in H \implies g \in Hh^{-1} \subseteq H$. Наоборот,$g \in H \implies gh \in H$. Оба утверждения следуют потому, что$H$ является подгруппой и поэтому замкнута относительно произведений и обратных.

Answer 3

Да. Или вы могли сказать, что показали$g\in H$. Так или иначе, противоречие. Это завершает доказательство.