Сумма треугольного числа

Question

Ну известные треугольные числа $$1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, \cdots$$Я ищу разные методы, чтобы получить сумму этих чисел. Я знаю, что мы можем написать это, как показано ниже$$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \displaystyle\sum\limits_{k=1}^i i\\= \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \frac{i(i+1)}{2}=\\ \frac 12 \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n (i+i^2)=\\ \frac12 (\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})=\\ \frac{n(n+1)(n+2)}3$$ Я знаю, что мы можем показать это $\mathit{mathematical} \space \mathscr{Induction}$, А есть ли еще способы показать этот факт? В качестве примера доказательство без слов или что-то еще. Заранее благодарим за любые подсказки, решения или разные идеи. Кроме того, я ищу особенности эвристического решения.

Answer 1

Использование идентификатора хоккейной клюшки :$$\sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2}=\sum_{k=1}^{n} {k +1 \choose 2}=\sum_{k=2}^{n+1} {k \choose 2}={n+2 \choose 3}$$

Answer 2

Есть несколько «Proof без слов» этого в Нельсона Proof без слов . Один идет следующим образом:

Рассмотрим треугольник

 1
 1 2
 1 2 3
 : ...
 1 2 3 ... n-1
 1 2 3 ... n-1 n

и его вращения

 1                      n
 2 1                    n-1 n-1 
 3 2 1                  n-2 n-2 n-2 
 : ...                  : ...
 n-1 n-2 ... 2 1        2 2 2 2 ... 2 2
 n  n-1 n-2 ... 2 1     1 1 1 1 ... 1 1 1

Суммируя каждую запись в трех треугольниках, получаем:

n+2
n+2 n+2
n+2 n+2 n+2
: ...
n+2 n+2 n+2 ... n+2

Следовательно $T_n (n+2) = 3\sum T_n$.

Таким образом $\sum T_n = \dfrac {n(n+1)(n+2)}6$.