Свойства об операторе Лапласа

Question

Позволять $\Omega \subset \mathbb{R}^n$открытые и ограниченные. Рассмотрим оператора$$A:=-\Delta: H^2(\Omega) \cap H_0^1(\Omega) \longrightarrow L^2(\Omega)$$ где $\Delta$ - оператор Лапласа в $\Omega$с граничными условиями Дирихле. я знаю это$A$ линейный, самосопряженный и положительный оператор, плотно определенный на $L^2(\Omega)$.

Вопрос 1. Оператор$A$ обратимый?

Я так думаю из-за леммы Лакса-Милграма. Кроме того, я считаю обратный оператор компактным. (Правильно?)

Вопрос 2. Если$ A $ обратима, возможна явная обратная $ A ^ {- 1} $ из $A$? Более того, возможно также явное$A^{-1/2}$?

Признаюсь, что для меня не совсем понятен настоящий смысл $A^{-1/2}$.

Answer 1

Вопрос 1. Да, он обратим по теореме Лакса-Мильграма и компактен по теореме Реллиха.

Вопрос 2. Да, вы можете доказать существование гильбертова основы$L^2(\Omega)$ построенный из собственных функций $A^{-1}$. За$B=A^{-1}$, вы можете определить квадратный корень из $B$ (обычно дробные степени) по: $$D(B^{1/2}):=\{f\in L^2(\Omega) : \sum_{n=1}^{\infty} \lambda_n (f|e_n)^2_{L^2} <\infty\},$$ $$B^{1/2} f = \sum_{n=1}^{\infty} \lambda_n^{1/2} (f|e_n)_{L^2}e_n,$$ где $(e_n)$ лежит в основе собственных функций $B$ связанные с собственными значениями $(\lambda_n)$.

Answer 2

Я обращаюсь только к Q1:

Прежде всего, нельзя использовать Лакса-Милграма, поскольку эта теорема применима только к операторам из $H$ к $H^*$, где $H$является гильбертовым пространством. (Или, что то же самое, к билинейным формам в гильбертовом пространстве)

Обратимость $A$ зависит от регулярности домена $\Omega$. Например, если граница гладкая или если$\Omega \subset \mathbb R^2$ - выпуклый многогранник, то $A$ обратимо.

На других доменах $A$ может быть необратимым, см., например, https://mathoverflow.net/a/38803.

Наконец, если $A$ обратима, обратная $A^{-1}$ никогда не может быть компактным как оператор из $L^2$ к $H^2 \cap H_0^1$. (Из компактности обратимого оператора следует конечномерность пространств). Однако, если вы вставите изображение$A^{-1}$ в $L^2$ (или же $H_0^1$) вы получите оператора $B \colon L^2 \to L^2$ и этот оператор компактен, поскольку он является конкатенацией ограниченного оператора $A^{-1}$ и компактный оператор (вложение).