Тонкий в любом размере?
Напомним , с этой вопрос , который мы называем натуральное slimdownable или тонкий для краткости , если она является частью последовательности целых чисел , где каждый из них следуют само по себе делится на его длину , то есть его количество цифр. В частности, каждый из них должен делиться на свою длину, и последовательность будет уменьшаться, пока не достигнет однозначного числа.
Примеры:
108: тонкий, потому что $108\overset{/3}{\rightarrow}36\overset{/2}{\rightarrow}18\overset{/2}{\rightarrow}9\overset{/1}{\circlearrowleft}$
78: не стройная, потому что $78\overset{/2}{\rightarrow}39\overset{/2}{\rightarrow}\Vert$
Докажите или опровергните, что для любого положительного целого числа $n$ существует небольшое число с $n$ цифры.
Примечание: вы можете использовать компьютер либо для создания контрпримера, либо, например, для дополнения асимптотического результата, или чего-то еще, что вы сочтете нужным. Если вы решите это сделать, для проверки кода ответьте на следующие тестовые вопросы:
Есть ли решения с $11111$цифры? Если да: сколько? Каковы первые 10 цифр их медианы?
Для каждого$n$ между $1$ и $11111$ вычислить число od решений с $n$цифры. Какой самый большой счет?
Вот тестовый пример, который вы можете использовать как быструю проверку работоспособности вашего кода:
При 3590 цифрах есть четыре решения. Все они худеют до$6$. Первые десять цифр этих чисел: «3159252337 ...», «3735860235 ...», «4606981484 ...», «6706597705 ...».
Ответы
Заключение:
Для любого $n$-цифровое число, не может существовать тонкое число для всех положительных целых чисел $n$.
Рассуждение:
Для всех $n$, должно быть несколько $n$ это $n$-цифры длинные.
Назовем наш $n$-цифровой номер $Z$.
Учтите, что в$10^{ceil(log(n))}$ - назовем это $a$, должно быть $a/n$ кратные $n$. Это обеспечивает наш путь в процессе похудения.
Давайте оглянемся на$Z$. В предыдущих двух шагах, если мы выбрали правильный$Z$, будет хотя бы одно число $y$ длины $(n-a)$ или $(n-a+1)$ где $y = Z/n$ и может быть выражено новым $Z$ повторить процесс.
Теперь я являюсь счастливым обладателем электронной таблицы Excel, которая генерирует новые значения, начиная с 5-9 (поскольку 1-4 не может генерировать двухзначное число) и заканчивая тем, где Excel обнаруживает ошибку #Value.
Изображение ниже в порядке убывания (от 9 до 5).
То, что меня разъедает, большое $n$.
Для $n$ = 1 миллиард, я не могу гарантировать, что будет небольшое число для $n$между 1 миллиардом - 1 и 1 миллиардом - 9, тем более что у меня всего 5 стартовых путей.
И поскольку разрыв будет только увеличиваться и расширяться по мере того, как$n\rightarrow\infty$, не может быть тонкого числа для всех положительных целых чисел$n$.
например, для$n$ знак равно $1E1,000,000$, мое деление приведет к тому, что первое число упадет на 6 разрядов, и я смогу заполнить пробел только 5 детерминированными путями, но в конечном итоге он не будет заполнен.