Вариант на Вариант
Какова стоимость контракта (к оплате в текущий момент $t_0$), который дает право (но не обязанность) купить опцион Vanilla Call (с определенным страйком K) по заранее определенной цене. $p$ в будущем $t_e$? Цена,$p$ определяется в $t_0$ и заплатил в $t_e$если держатель использует право покупки опциона. Предположим, что акции логнормальны с постоянной волатильностью.
Ответы
Доказательство относительно длинное, поэтому я сосредоточусь на изложении рассуждений и основных шагов.
Мы работаем по модели Блэка-Шоулза. Без потери общности остановимся на варианте со страйком.$P$ покупать в $t_e$ европейский опцион колл, истекающий в $T$, написано на акции $S$. Ожидания всегда принимаются в отношении меры, нейтральной к риску.$Q$ если не указано иное, и мы пишем $E_t(\cdot):=E(\cdot|\mathscr{F}_t)$.
Значение $C_t$ европейского опциона колл равно: $$C_t=E_t\left(e^{-r(T-t)}\max\{S_T-K\}\right)$$
Значение $O_t$ опциона на европейский колл-опцион предоставляется: $$\begin{align} O_t &=E_t\left(e^{-r(t_e-t)}\max\{C_{t_e}-P,0\}\right) \\&=e^{-r(t_e-t)}E_t\left( \max\left\{E_{t_e}\left(e^{-r(T-t_e)}\max\{S_T-K,0\}\right)-P,0\right\}\right) \\&=e^{-r(T-t)}E_t \left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\left(E_{t_e}\left(1_{S_T\geq K}\left(S_T-K\right)\right)-\tilde{P}\right)\right) \\&=e^{-r(T-t)}E_t\left(E_{t_e} \left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}1_{S_T\geq K}\left(S_T-K\right)-1_{S_{t_e}\geq S^\star}\tilde{P}\right)\right) \\\tag{1}&=e^{-r(T-t)}\left( E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star, S_T\geq K}S_T\right) -E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star, S_T\geq K}\right)K -E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\right)\tilde{P} \right) \end{align}$$ где последнее неравенство вытекает из закона повторных ожиданий, $\tilde{P}:=e^{r(T-t_e)}P$ сложный удар, и $S^\star$ это ценность $s$ который решает следующее уравнение: $$\tag{2}c(s,T-t_e)-\tilde{P}=0$$ где $c$ - это недисконтированная цена Блэка-Шоулза для европейского опциона колл: $$c(s,\tau):=se^{r\tau}\Phi\left(\frac{\ln\frac{s}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\right)-K\Phi\left(\frac{\ln\frac{s}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)\tau}{\sigma\sqrt{\tau}}\right)$$
На практике количество $S^\star$ можно вычислить путем численного решения уравнения $(2)$, например Ньютон-Рафсон. Теперь третий член в уравнении$(1)$ это просто вероятность того, что логнормальная переменная будет выше $S^\star$. По аналогии с классическим методом Блэка-Шоулза это равно:$$\tag{3.a}E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star}\right)=\Phi\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}}\right)$$
Чтобы вычислить второй член в $(1)$, мы определяем $Z$ и $Y$ в виде двух независимых нормальных случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией, чтобы представить броуновские приращения от $t$ к $t_e$ и оттуда в $T$. Обратите внимание, что:$$\begin{align} 1_{\{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K\}} &=1_{\left\{S_te^{\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)+\sigma \sqrt{t_e-t}Z}\geq S^\star,\ S_te^{\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)+\sigma\left(\sqrt{t_e-t}Z+\sqrt{T-t_e}Y\right)}\geq K\right\}} \\\tag{4} &=1_{\left\{Z\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \end{align}$$ где $X$ - третья стандартная нормальная переменная со следующей корреляцией с $Z$: $$\rho:=\frac{\text{Cov}(\sqrt{t_e-t}Z+\sqrt{T-t_e}Y,Z)}{\sqrt{V(\sqrt{T-t_e}Z+\sqrt{t_e-t}Y)V(Z)}}=\sqrt{\frac{t_e-t}{T-t}}$$ Следовательно, второй член в уравнении $(1)$ это кумулятивная двумерная нормальная вероятность для $Z$ и $X$ параметризованный их корреляцией $\rho$: $$\begin{align} &E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}\right) \\[6pt]\tag{3.b} &\quad=\Phi_\rho\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right) \end{align}$$
Для первого члена в уравнении $(1)$, мы меняем меру ожидания на меру запаса, где numéraire - это запас $S$, который мы напишем $\mathcal{S}$: $$\begin{align} E_t^\mathcal{Q}\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) &=E_t^\mathcal{S}\left(e^{r(T-t)}\frac{S_t}{S_T}1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) \\ &=e^{r(T-t)}S_tE_t^\mathcal{S}\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}\right) \end{align}$$
Процесс Радона-Никодима, подразумеваемый этим изменением меры: $$\begin{align} \left.\frac{d\mathcal{Q}}{d\mathcal{S}}\right|_{\mathscr{F}_t} &=e^{r(T-t)}\frac{S_t}{S_T} \\ &=e^{\frac{\sigma^2}{2}(T-t)-\sigma W^\mathcal{Q}_t} \end{align}$$ Таким образом, «новиковский процесс» для этого изменения меры $\theta_t:=-\sigma t$. Таким образом, следующий процесс является броуновским движением по акции:$$W^\mathcal{S}_t=W^\mathcal{Q}_t-\sigma t$$
Это означает, что дрейф запаса в соответствии с этой новой мерой увеличивается на $\sigma^2$. Мы можем использовать уравнение$(4)$ но на этот раз для стандартных нормальных переменных $Z'$, $Y'$ и $X'$ по акции $\mathcal{S}$: $$\begin{align} 1_{\{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K\}} &=1_{\left\{Z'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left((r+\sigma^2)-\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left((r+\sigma^2)-\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \\ &=1_{\left\{Z'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\ X'\leq \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right\}} \end{align}$$ То есть: $$\begin{align} &E_t\left(1_{S_{t_e}\geq S^\star,\ S_T\geq K}S_T\right) = \\[6pt] \tag{3.c} & \quad e^{r(T-t)}S_t \Phi_\rho\left(\frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}},\frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}\right) \end{align}$$ Определение: $$\begin{align} d_1 & := \frac{\ln\frac{S_t}{K}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} \\ d_1^\star & := \frac{\ln\frac{S_t}{S^\star}+\left(r+\frac{\sigma^2}{2}\right)(t_e-t)}{\sigma\sqrt{t_e-t}} \\[12pt] d_2 & := d_1-\sigma\sqrt{T-t} \\[18pt] d_2^\star & := d_1^\star-\sigma\sqrt{T-t} \end{align}$$ Затем, комбинируя уравнения $(1)$, $(3.a)$, $(3.b)$ и $(3.c)$, получаем желаемый результат: $$O_t=S_t\Phi_\rho\left(d_1^\star,d_1\right)-e^{-r(T-t)} K\Phi_\rho\left(d_2^\star,d_2\right)-e^{-r(t_e-t)}P\Phi(d_2^\star) \quad \square$$
Как видите, оно очень похоже на уравнение Блэка-Шоулза для опциона колл:
- Третий член формулы оценки для $O_t$ эквивалентно второму члену в формуле Блэка-Шоулза, а именно дисконтированному страйку $P$ умноженная на вероятность того, что опцион по опциону будет исполнен;
- Комбинация первых двух терминов очень близка к значению Блэка-Шоулза для опциона колл: этого следовало ожидать, потому что опцион записан на опцион колл. Однако вероятности$\Phi_\rho(d_1^\star,d_1)$ и $\Phi_\rho(d_2^\star,d_2)$ учитывать значение цены акции на $t_e$ и $T$. Это связано с тем, что, когда вы входите в стандартный опцион колл, вы знаете цену акции на дату сделки.$t$ но не по истечении срока $T$. В этом случае вы войдете в опцию в будущем.$t_e>t$, следовательно, вы не знаете стоимость базового актива ни на начальном этапе. $t_e$ ни по истечении срока $T$: эта повышенная неопределенность фиксируется двумерным нормальным распределением.
Я думаю, вы имеете в виду сложный вариант . Его оценка с учетом предположений Блэка-Шоулза приведена по ссылке. Впервые этот вариант был предложен Геске (1978), см. Здесь исходную статью .