Весовой интеграл свертки

Question

После некоторых экспериментов мне кажется, что:

интеграл (во всей области) свертки $(f*s)(x)$, функции фильтра$f(x)$с функцией сигнала$s(x)$, умноженный на весовую функцию$w(x)$,

$$ \int (f*s)(x) \cdot w(x) \, dx $$

, когда все функции интегрируемы ,

равна интегралу сигнальной функции$s(x)$взвешенный по взаимной корреляции $(f\star w)(x)$из фильтра функции$f(x)$с весовой функцией$w(x)$,

$$ \int (f\star w)(x) \cdot s(x) \, dx $$

Это правильно?

Если да, то каковы доказательства?

Если это не так, есть ли что-то подобное, что позволяет объединить фильтр и весовые функции для создания новой весовой функции?

Answer 1

Если я не ошибаюсь, это просто изменение порядка интеграции (что должно быть обосновано условиями интегрируемости): \begin{align} \int (f*s)(x)w(x) dx & = \int\int f(y-x)s(y)dy\, w(x)dx\\ & = \int\int f(y-x)w(x)dx\, s(y)dy\\ & = \int (f\star w)(y)s(y)dy. \end{align}