Вопрос 9.27 Дэвид М. Бертон элементарная теория чисел

Question

Этот вопрос взят из раздела Дэвида Бертона: Квадратичный закон взаимности, стр. 184.

Вопрос: Если p - нечетное простое число, покажите, что $\sum_{a=1}^{p-2} (a(a+1) /p) =-1$ .

Я могу только сказать, что a, a + 1 всегда совпадают, но я не мог подумать об их использовании.

Подскажите, пожалуйста, как решить именно эту проблему.

Есть вопросы, на которые нельзя дать ничего, кроме попытки.

Answer 1

$(\frac{x}{p})=1$ если и только если $\it{residue}$ $\it{class}$ $\bar{x}:=x+p\Bbb Z$ ненулевой квадрат в конечном поле $$\Bbb F_p:=\{x+p\Bbb Z:x\in\Bbb Z\}$$ $\bar{x}=\bar{y}$ просто означает $p\;\Big\vert\;(x-y)$ или, что то же самое, $x\equiv y\mod{p}$ и поэтому сложение / умножение классов остатков по понятным причинам хорошо определяется как $$\bar{x}+\bar{y}=\overline{x+y}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\bar{x}\cdot\bar{y}=\overline{x\cdot y}$$ где $\bar{x}^{-1}$, снова обозначенный $\frac{\bar{1}}{\bar{x}}$, этот класс вычетов удовлетворяет $\bar{x}\cdot\bar{x}^{-1}=\bar{1}$.

$$\chi(\bar{x}):=(\frac{x}{p})=\chi(\bar{x})=\Bigg\{\begin{matrix}0\;\text{if}\;\bar{x}=\bar{0}\\1\;\text{if}\;\bar{x}\;\text{is}\;\text{a}\;\text{non-zero}\;\text{square}\\-1\;\text{otherwise}\end{matrix}$$ определяет мультипликативную функцию $\chi:\Bbb F_p\to\{\pm 1\}$. Запись$\bar{x}$ ненулевой квадрат в $\Bbb F_p$ если только $\bar{x}^{-1}$тоже. Обратите внимание, что данный$\chi(\bar{x_0})=-1$ тогда потому что $\bar{x}\mapsto\bar{x_0}\cdot\bar{x}$ определяет перестановку $\Bbb F_p$ мы видим $$\sum_{\bar{x}\in\Bbb F_p}\chi(\bar{x})=\sum_{\bar{x}\in\Bbb F_p}\chi(\bar{x_0}\cdot\bar{x})=\sum_{\bar{x}\in\Bbb F_p}-\chi(\bar{x})=-\sum_{\bar{x}\in\Bbb F_p}\chi(\bar{x})\;\;\;\;\;\therefore\;\sum_{\bar{x}\in\Bbb F_p}\chi(\bar{x})=0$$ $$\sum_{a=1}^{p-2}(\frac{a(a+1)}{p})=\sum_{\bar{0},\bar{-1}\neq\bar{x}\in\Bbb F_p}\chi(\bar{x}\cdot(\bar{x}+\bar{1}))=\sum_{\bar{0},\bar{-1}\neq\bar{x}\in\Bbb F_p}\chi(\frac{\bar{x}+\bar{1}}{\bar{x}})=\sum_{\bar{0},\bar{-1}\neq\bar{x}\in\Bbb F_p}\chi(1+\bar{x}^{-1})=\sum_{\bar{0},\bar{1}\neq\bar{x}\in\Bbb F_p}\chi(\bar{x})$$ $$=\sum_{\bar{x}\in\Bbb F_p}\chi(\bar{x})-\chi(\bar{0})-\chi(\bar{1})=0-1=-1$$

Answer 2

Надеюсь, что это ответ на ваш вопрос