Neden sonlu derece operatörleri Hilbert Schmidt?

Question

İzin Vermek $H_1,H_2$ iki Hilbert Spaces olun ve $T:H_1 \to H_2$ sonlu aşamalı bir doğrusal operatör, yani $dim[T(H_1)]=m<+\infty$.

Bunu göstermem gerek $T$ bir Hilbert-Schmidt operatörüdür, yani bir Hilbert temeli verildiğinde $\{e_\alpha\}_{\alpha \in J}$ $$\|T\|^2_{HS} = \sum_{\alpha \in J}\|T(e_\alpha)\|^2<\infty.$$

Şimdi, olarak $T$ sonlu bir sıraya sahip, ortogonal bir temel var $\{y_1,...,y_m\}\subset H_2$ nın-nin $T(H_1)$ öyle ki $$T(x) = \sum_{i=1}^m a_i(x)y_i$$

Bunu kullanarak elimizde

$$\|T\|^2_{HS} \leq \sum_{\alpha \in J} \sum_{i=1}^m |a_i(x)|^2 \|y_i\|^2 =\sum_{\alpha \in J} \sum_{i=1}^m |a_i(x)|^2 $$

Ama bu neden sonlu olsun?

---

Görünüşe göre herkes Hilbert-Schmidt operatörleri hakkında yalnızca şu bağlamda konuşuyor gibi görünüyor: $T:H \to H$. Bu durumda, ortonormal bir temel alabileceğimiz için iddiayı göstermek kolaydır.$\{e_\alpha\}_{\alpha \in J}$ ve benzeri $T$ sonlu sıralaması var, var $I \subset J$ ile sonlu $T(e_\alpha) = 0 \; \forall \alpha \in J\setminus I$ ve Hilbert-Schmidt normunun serisi aslında sonlu bir toplamdır.

Sorun kesinlikle farklı alanlarımızın olması. $H_1$ ve $H_2$. Bir şekilde ayrılabilir miyim$H_1 = A \bigoplus B$ Böylece $T(B) = 0$ ve $dim(A)<\infty$? Bu sorunu çözecektir.

Answer 1

İfade $$ \sum_{\alpha \in J} \sum_{i=1}^m |a_i(x)|^2 $$ (genellikle) sonlu değildir, çünkü bağlı olmayan bir şey üzerinde sonsuz bir toplamınız vardır. $\alpha$. Öyleyse$|a_i(x)|\neq0$ bazı $i$ ve $x$, o zaman ifade sonsuzdur.

Genel çözüm için ipucu :

Operatörü ayrıştırın $T$ sonlu sayıda operatöre $T_i:H_1\to\Bbb C$. O zaman temsil edebilirsin$T_i$ bazıları tarafından $y_i\in H_1$. Olduğunu göstermektedir$T_i$ Hilbert-Schmidt kullanıyor mu $y_i$.

Bu, formun bir ifadesine yol açmalıdır $$ \sum_{\alpha\in J} |(y_i,e_\alpha)|^2, $$ (nerede $\{e_\alpha\}_{\alpha\in J}$ bir Hilbert temelidir) ve sonlu olduğu gösterilebilir.