Dépendance temporelle des opérateurs

Question

Dans l'introduction de Griffiths à la mécanique quantique, tout en étudiant l'évolution temporelle de la valeur d'attente de la position, l'auteur a écrit: $$\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}x|\Psi(x,t)|^2\,dx.$$

Alors $$\frac{d\langle x\rangle}{dt}=\int x\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(x,t)|^2\,dx.$$

At-il juste supposé que $x$n'a pas de dépendance au temps? Et pourquoi?

Answer 1

A-t-il simplement supposé que x n'a pas de dépendance temporelle? Et pourquoi?

Oui. Le résultat d'une intégrale de la forme$$\int_{\mathbb{R}} f(x,t) \, dx \tag{1}$$ est une fonction du temps $t$; c'est-à-dire une fonction d'une variable réelle (ou, plus ou moins, l'intégrale s'évaluera à une quantité qui ne dépendra pas de$x$, seulement sur $t$). Ainsi, en différenciant$(1)$, on obtiendrait: $$\frac{\text{d}}{\text{d}t} \int_{\mathbb{R}} f(x,t) \, dx = \int \frac{\partial f}{\partial t}(x,t) \, dx$$comme dicté par le théorème intégral de Leibniz (notez que j'ai supposé quelques hypothèses faibles sur le comportement de$f$, mais ce n'est pas d'un intérêt incroyable ici). Une application triviale de ceci dans$$\langle x \rangle := \int_{\mathbb{R}} x |{\Psi(x,t)}|^2 \, dx$$ donne le résultat souhaitable.

Answer 2

Il existe deux formulations de mécanique quantique:

• Représentation de Schrödinger . L'évolution temporelle est codée dans le vecteur d'état, fonction d'onde -$\Psi(x,t)$, et les observables (opérateurs) sont constants dans le temps
• Représentation Heisenberg . Désormais, les opérateurs évoluent dans le temps et les vecteurs d'état sont indépendants du temps, maintenus fixes.

Dans le cas des théories en interaction, il existe une représentation d'interaction hybride . Ici les opérateurs évoluent avec l'hamiltonien non interactif$H_0$, et les états évoluent via la partie interaction $H_I$.

Donc, dans votre cas, l'auteur utilise la représentation de Schrödinger.