$0$ट्रेफिल और फिगर-आठ पर सर्जरी

यदि आप भारी मशीनरी में खुश हैं, तो आप कुछ प्रकार की फ़्लोर होमोलोजी की गणना कर सकते हैं, जैसे हीगार्ड फ़्लोर होमोलॉजी का 'हेट' संस्करण: इसके लिए रैंक 2 है $S^3_0(3_1)$ और रैंक 4 के लिए $S^3_0(4_1)$, तो वे अलग हैं।

दूसरी ओर, इस तरह के मामलों में जहां आपके पास 3-मैनिफोल्ड्स की एक बहुत विशिष्ट जोड़ी है, यह अक्सर कुछ परिमित क्रम के कवरों की गिनती करके अपने मौलिक समूहों को अलग करने के लिए पर्याप्त है। यहां आप संबंधित गाँठ समूहों की विर्टिंगर प्रस्तुतियों से हाथ से काम कर सकते हैं, या आप बस SnapPy से इसे करने के लिए कह सकते हैं:

In[1]: len(Manifold('3_1(0,1)').covers(9))
Out[1]: 4


In[2]: len(Manifold('4_1(0,1)').covers(9))
Out[2]: 2

यह प्रत्येक 0-सर्जरी के 9-गुना कवर को गिनता है, और चूंकि संख्याएं अलग हैं, इसलिए उनके पास अलग-अलग मौलिक समूह होने चाहिए।

उन्हें ज्यामितीय रूप से भी प्रतिष्ठित किया जा सकता है। दोनों समुद्री मील एक फाइबर वाले समुद्री मील हैं, इसलिए दोनों$M$ तथा $N$ सर्कल के ऊपर टोरस बंडल हैं।

फिगर आठ का पूरक हाइपरबोलिक है, इसलिए फिब्रेशन का मोनोड्रोम छद्म-एनोसोव है। इसलिए मोनोड्रोम पर$N$ Anosov है, और $N$ सोल ज्यामिति है।

ट्रेफ़िल का पूरक सीफ़र्ट फाइबर है जो आधार के साथ एक डिस्क को क्रम 2 के शंकु बिंदुओं के साथ परिक्रमा करता है और 3. देशांतर 6 बार सीमा पर एक साधारण सर्कल फाइबर को काटता है, इसलिए $M$ क्रम 2, 3, और 6 के शंकु अंक के साथ गोले के ऊपर फाइबरयुक्त होता है।

जबसे $M$ तथा $N$ अलग-अलग ज्यामितीय संरचनाओं को स्वीकार करते हुए कई गुना बंद हैं, वे होमियोमॉर्फिक नहीं हैं।

इसके अलावा, यह जांचना संभव है कि मोनोड्रोम की $M$ एक टोरस बंडल के पास ऑर्डर 6 है, जो परिमित है, इसलिए $M$ वास्तव में एक यूक्लिडियन संरचना को स्वीकार करता है।

जब तक हम सामूहिक रूप से इस पर किचन सिंक फेंक रहे हैं, ध्यान दें कि गाँठ का अलेक्जेंडर बहुपद 0-सर्जिकल कई गुना का एक अपरिवर्तनीय है। इसलिए जब से फिगर आठ और ट्रेफिल नॉट के अलग-अलग पॉलीओनियम्स हैं, 0-सर्जरी होमियोमॉर्फिक नहीं हैं।

यह जोश के ज्यामितीय तर्क के लिए एक सामयिक समकक्ष है।

जबसे $H_1(M) \cong H_1(N) \cong \mathbb{Z}$, उनमें से किसी एक का केवल 6 गुना चक्रीय आवरण है; उन्हें बुलाओ$M'$, $N'$। दोनों$M'$ तथा $N'$ सर्कल के ऊपर दोनों टोरस बंडलों हैं, और उनकी मोनोड्रोमियों की मोनोक्रोमियों की छठी शक्तियां हैं $M$ तथा $N$। के बाद से$M$ पहचान की छठी जड़ है, लेकिन एकाधिकार है $N$ नहीं है, $M'$ है $T^3$, जबकि $N'$ क्या नहीं है।

यह ऊपर दिए गए तर्कों से थोड़ा सरल है। इन दोनों मैनिफोल्ड्स के लिए (0,1) सर्जरी के दोहरे कवर में अलग-अलग गृहविज्ञान हैं।

आकृति 8 नॉट सप्लीमेंट पर (0,1) सर्जरी के डबल कवर में होमोलॉजी जेड / 5 जेड + जेड है। ट्रेफिल नॉट सप्लीमेंट पर डबल (0,1) सर्जरी के डबल कवर में होमोलॉजी जेड / 3 जेड + जेड है।

यह स्पष्ट नहीं है कि उनके आवरणों के गृहविज्ञान द्वारा कई गुना भिन्नता कितनी अच्छी है और यह कुछ सोल टोरस बंडलों के लिए विफल होने के लिए जाना जाता है। हालांकि, जब यह सफल होता है, तो यह कई गुना अलग करने के लिए एक ठोस अजेय प्रदान करता है।

इसके अलावा, किसी भी दो ब्रिज नॉट सप्लिमेंट के डबल कवर एस ^ 3 \ टीबीएल (पी, क्यू) एल (पी, क्यू) में एक नल-होमोलॉगस गाँठ पूरक का पूरक है। इसलिए इसमें होमोलॉजी Z / pZ + Z है जैसा कि (0,1) सर्जरी के दोहरे कवर (मैं स्पष्ट रूप से चक्रीय कवर में 0,1) वक्र लिफ्टों का उपयोग कर रहा हूं)। इस मामले में, ट्रेफ़ॉयल (3,2) दो पुल गाँठ है और आंकड़ा आठ गाँठ (5,2) दो पुल गाँठ है। तो यह दो-पुल गाँठ के पूरक पर (0,1) सर्जरी के कई जोड़े को अलग करने के लिए एक प्रभावी तकनीक है।