$2^{\aleph_0} \geq \aleph_1$

क्रिस ईगल का जवाब सही है, लेकिन इसके चारों ओर सूक्ष्मताएं हैं जो ध्यान देने योग्य हैं।

सबसे पहले, हमें वास्तव में यह साबित करना होगा कि कॉल करने से पहले सबसे छोटा बेशुमार कार्डिनल है$\aleph_1$, और यह nontrivial है। यह दो टुकड़ों में टूट जाता है, और दूसरे की कुंजी पसंद का स्वयंसिद्ध है ,$\mathsf{AC}$:

• बिना उपयोग किए $\mathsf{AC}$हम दिखा सकते हैं कि अध्यादेश अच्छी तरह से हैं- (पूर्व) कार्डिनलिटी द्वारा आदेश दिया गया है और यह एक बेशुमार नियम है। नतीजतन, "सबसे कम बेशुमार अध्यादेश " समझ में आता है, और यही हम कहते हैं$\aleph_1$ या $\omega_1$(संकेतन का अर्थ एक ही बात है लेकिन संकेतन के एक अतिभार के कारण संदर्भ सुराग के रूप में कार्य करता है - कार्डिनल अंकगणितीय बनाम क्रमिक अंकगणित देखें , और उदास हो जाएं)।

• $\mathsf{AC}$फिर हमें बताता है कि हर सेट किसी न किसी अध्यादेश के साथ है। इसलिए वास्तव में हम संदर्भित करने के लिए उचित हैं$\aleph_1$ के रूप में "सबसे कम बेशुमार कार्डिनल:" अगर $X$ एक बेशुमार सेट है, फिर एक इंजेक्शन होना चाहिए $\aleph_1$ जांच $X$।

ध्यान दें कि ऊपर दिए गए पहले बुलेटपॉइंट का संक्षिप्त वर्णन है $\aleph_1$; हालाँकि, यह विवरण तकनीकी है। मूल रूप से,$\mathsf{CH}$ वह परिकल्पना है जिसे हम अध्यादेश-आधारित विवरण को बदल सकते हैं $\aleph_1$ एक बहुत अधिक सहज ज्ञान युक्त के साथ, अर्थात् "की कार्डिनैलिटी $\mathbb{R}$। "

दूसरा, ऊपर दिए गए चुनाव का उपयोग एक तात्कालिक प्रश्न बताता है: यदि हम विकल्प नहीं मानते हैं तो क्या होगा ? यही है, अगर हम काम करते हैं तो क्या होगा$\mathsf{ZF}$ के बजाय $\mathsf{ZFC}$?

इस मामले में चीजें बहुत अधिक जटिल हो जाती हैं। $\aleph_1$अभी भी समझ में आता है, लेकिन यह संभव है कि यह अतुलनीय है$\mathbb{R}$: यह ऐसा मामला हो सकता है जो न तो दूसरे में इंजेक्ट करता है। (दिलचस्प है,$\mathsf{ZF}$ साबित करता है कि वहाँ से एक आक्षेप है$\mathbb{R}$ पर $\omega_1$, लेकिन हम surjections के माध्यम से सेट आकार की तुलना नहीं करना चाहते हैं: इंजेक्शन के साथ विपरीत , दिए गए surjections$A\rightarrow B$ तथा $B\rightarrow A$ हम सामान्य रूप से एक आक्षेप को ठीक नहीं कर सकते $A\leftrightarrow B$ पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना।)

असंदिग्ध संदर्भ में इसलिए हमें "कमजोर निरंतरता परिकल्पना" भी मिलती है: यह वह परिकल्पना है जो वास्तविकताओं के हर बेशुमार सेट के साथ है।$\mathbb{R}$। पसंद का एक निश्चित प्राकृतिक विकल्प मानते हुए , हमारे पास वास्तव में ऐसा है$\aleph_1$ तथा $\mathbb{R}$ अतुलनीय हैं, लेकिन कमजोर निरंतरता परिकल्पना सच है।

सारांश में, कैंटर के प्रमेय से पता चलता है कि इससे कोई आपत्ति नहीं है $\aleph_0$ सेवा $2^{\aleph_0}$। हालाँकि, असमानता$$2^{\aleph_0}\ge\aleph_1$$ इससे कुछ गहरा है: यहां तक ​​कि अगर हम पसंद के स्वयंसिद्ध मान लेते हैं तो इसे कैंटर के प्रमेय से प्राप्त करने के लिए कुछ काम लगते हैं (वास्तव में, कैंटर के प्रमेय को साबित करने में जितना काम लगता है उससे कहीं अधिक काम होता है), और पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना यह गलत हो सकता है। (जबकि कैंटर का प्रमेय पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग नहीं करता है)।

परिभाषा से, $\aleph_1$सबसे छोटा बेशुमार कार्डिनल है। कैंटर ने साबित कर दिया कि$\mathbb{R}$ इस प्रकार बेशुमार है $|\mathbb{R}|$ कम से कम जितना बड़ा बेशुमार कार्डिनल है, उतना बड़ा है $2^{\aleph_0} \geq \aleph_1$।