$A$ nilpotent है, तो $I+\lambda A$ किसी के लिए भी उल्टा है $\lambda \in \mathbb{R}$

Question

मुझे इस समस्या में मदद
चाहिए$A$ एक वर्गाकार वास्तविक मैट्रिक्स ऐसा है $A^{n}=0$ कुछ सकारात्मक पूर्णांक के लिए $n .$इस तरह के मैट्रिक्स को nilpotent कहा जाता है। दिखाओ कि अगर$A$ nilpotent है, तो $I+\lambda A$ किसी के लिए भी उल्टा है $\lambda \in \mathbb{R}$

मुझे पता है कि के लिए $\lambda = 1$ यह सच है
$$\left(A+I\right)\left(I-A+A^2-...+(-1)^n A^{n-1}\right) = I +(-1)^{n-1} A^n = I$$ इस प्रकार यह साबित करना $A+I$ किसी भी निस्पंदक के लिए उल्टा है $A$।

लेकिन मुझे नहीं पता कि यह किसी के लिए सच है या नहीं $\lambda$।

Answer 1

हमारे पास है $(I+\lambda A)(I-\lambda A+\lambda^2A^2-...)=I$।

Answer 2

सुझाव: चूंकि आप पहले से ही जानते हैं $A$ nilpotent है, तो $I+A$ एक इकाई है, आप इसका निरीक्षण कर सकते हैं $\lambda A$ nilpotent और निष्कर्ष है।

Answer 3

आप इसे निम्नानुसार विरोधाभास द्वारा भी दिखा सकते हैं:

के लिये $\lambda = 0$ दिखाने के लिए कुछ भी नहीं है।

तो चलें $\lambda \neq 0$ और मान लीजिए $I+\lambda A$ उलटा नहीं है। $$\Rightarrow \det (I+\lambda A)=0 \Rightarrow \det \left(A - \mu I\right)=0 \text{ with } \mu = -\frac 1{\lambda} \neq 0$$

इसलिए, $\mu\neq 0$ का एक प्रतिरूप होगा $A$। जबसे$A$ nilpotent है, हम होगा $\mu = 0$, जो एक विरोधाभास है।

Answer 4

मैं मान रहा हूँ $A$ खत्म हो गया $\mathbb{R}$ , निप्पलेंट इंडेक्स के साथ $k$

यदि $\lambda = 0$ : $(I - \lambda A) = I$और उलटा है।
यदि$\lambda \not= 0$: हम इस अगले लेम्मा का उपयोग करेंगे

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लेम्मा: यदि$B$ एक वास्तविक निप्पलेंट मैट्रिक्स है, $B$कोई वास्तविक गैर-शून्य eigenvalues ​​नहीं है।
प्रमाण:

कल्पना करो $B$ इंडेक्स का नापाक है $r$।
हम यह भी मानते हैं कि यह एक वास्तविक स्वदेशी है -$\xi$

परिभाषा के अनुसार, इसका मतलब है कि एक गैर-शून्य वेक्टर मौजूद है $v$ ऐसा है कि-

$Bv = \xi v$

इसलिए, $B^2v = B(B(v)) = B(\xi v) = \xi B(v) = \xi^2 v$
सामान्य तौर पर, इंडक्शन द्वारा दिखाना मुश्किल नहीं है
$\forall n \in \mathbb{N} : B^n (v) = \xi ^n v$

उस के साथ, हम प्राप्त करते हैं: $B ^r (v) = \xi ^r v$
लेकिन $B ^r (v) = O (v) = \underline0$

इसलिए - $\xi ^r v = \underline0$।
परंतु$v \not= \underline0$ , तो हमें मिलना चाहिए $\xi ^r = 0$ - जो समग्र मतलब है:
$\xi = 0$
$Q.E.D$

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अब, इस लेम्मा को लागू करें$A$, और मिलता है $A$कोई गैर-शून्य ईजेंवल नहीं है ।

आइए हम मैट्रिक्स की जांच करें $I - \lambda A$ , यहाँ याद है $\lambda \not= 0$।

यह मैट्रिक्स उलटा है, यदि और केवल अगर इसमें एक गैर-शून्य निर्धारक है।
आइए हम इसके निर्धारक की गणना करें:

$det(I - \lambda A) = \lambda det(\lambda ^{-1}I - A)$

यह बराबर है $0$ और पाओ:
$\lambda det(\lambda ^{-1}I - A) = 0$
$det(\lambda ^{-1}I - A) = 0$

इसलिए - $\lambda ^{-1}$ का एक प्रतिरूप है $A$, जो गैर-शून्य है। Contrediction।

इसलिए, $\lambda det(\lambda ^{-1}I - A) \not= 0$ इसलिए -
$det(I - \lambda A) \not = 0$ और मैट्रिक्स उलटा है।