भीलों पर "सह-लघु" टोपोलॉजी?

Question

सभी उपसमूह के सेट पर विचार करें, $2^\Bbb{N}$। हम एक सबसेट कहते हैं$A \subseteq \Bbb{N}$ छोटा अगर$\sum_{a \in A} \frac{1}{a} < \infty$, और बड़े अन्यथा। के छोटे सबसेट का सेट$\Bbb{N}$, $$X := \{ A \in 2^\Bbb{N}: A \text{ is small} \},$$मनमाना चौराहे और परिमित यूनियन के तहत बंद है। इससे पता चलता है कि हम एक टोपोलॉजी को परिभाषित कर सकते हैं$\Bbb{N}$ निम्नानुसार है: एक तत्व को बुलाओ $U \in 2^{\Bbb{N}}$ सह-छोटा यदि$U^c := \Bbb{N} \setminus U$छोटा है। फिर सह-लघु टोपोलॉजी पर$\Bbb{N}$ वह टोपोलॉजी है, जहां नैटिवियल ओपन सेट होते हैं (यानी इसके अलावा $\Bbb{N}$और खाली सेट) सह-छोटे सेट हैं। यह एक टोपोलॉजी है क्योंकि सह-छोटे सेटों का सेट मनमाने ढंग से संघ और परिमित चौराहे के नीचे बंद है। इस टोपोलॉजी के तहत,$\Bbb{N}$ है $T_1$ (किसी भी दो अलग-अलग बिंदुओं के लिए $a, b$ का पड़ोस है $a$ से विमुख $b$ और इसके विपरीत) लेकिन हौसडॉर्फ़ नहीं (क्योंकि किसी भी दो सह-छोटे सेट में सह-छोटे चौराहे हैं, अलग-अलग बिंदुओं के किसी भी दो पड़ोस $a, b$ओवरलैप होगा)। में केवल कॉम्पैक्ट सेट$\Bbb{N}$इस टोपोलॉजी के तहत परिमित सेट हैं; तथापि,$\Bbb{N}$ इस टोपोलॉजी में असतत नहीं है (चूंकि एक-बिंदु सेट सह-छोटा नहीं हो सकता है)।

प्रशन:

1. क्या इस टोपोलॉजी का कोई औपचारिक नाम है, और क्या इसका साहित्य में अध्ययन किया गया है? है$\Bbb{N}$ एक और, बेहतर ज्ञात या समझा स्थान के लिए सह-लघु टोपोलॉजी होमियोमॉर्फिक में?

2. से निरंतर कार्य क्या हैं $\Bbb{N}$सह-लघु टोपोलॉजी के तहत खुद को, निरंतर कार्य या पहचान समारोह जैसे तुच्छ उदाहरणों से अलग? ( केवल निरंतर नक्शे से$\Bbb{N}$ सह-लघु टोपोलॉजी में $\Bbb{R}$सामान्य टोपोलॉजी में लगातार कार्य होते हैं। )

3. हम भी सोच सकते हैं $\Bbb{N}$ स्पष्ट माप के साथ असतत माप स्थान के रूप में $$\mu(A) := \sum_{a \in A} \frac{1}{a}.$$प्रत्येक खुले सेट में अनंत माप होते हैं, और परिमित माप वाले सेट बंद होते हैं। इसके अलावा, के हर तत्व$2^\Bbb{N}$ औसत दर्जे का है, जिसमें से यह प्रत्येक फ़ंक्शन का तुच्छ रूप से अनुसरण करता है $f: \Bbb{N} \to \Bbb{R}$ या $\Bbb{C}$औसत दर्जे का है। माप भी एक अच्छा तरीका है: हमारे पास है$\mu(kA) = \frac{\mu(A)}{k},$ कहाँ पे $kA := \{ ka: a \in A \}$। क्या इस उपाय को संख्या सिद्धांत या कॉम्बिनेटरिक्स में किसी भी दिलचस्प समस्याओं पर लागू किया जा सकता है? क्या यह किसी भी नक्शे की ergodicity साबित करने के लिए उपयोग किया जाता है?

Answer 1

से निरंतर कार्यों के बारे में $\mathbb N$ सह-लघु टोपोलॉजी में खुद के लिए:

एक नक्शा $f\colon \mathbb N\to \mathbb N$ सह-लघु टोपोलॉजी में निरंतर है अगर और केवल अगर यह निरंतर है या बड़े सेट से बड़े सेटों को मैप करता है।

मैं आगे की सूचना के बिना निम्नलिखित टिप्पणियों का उपयोग करूंगा:

1. छोटे सेट के सब्सक्रिप्शन छोटे हैं। बड़े सेटों के सुपर सेट बड़े हैं।
2. $\overline X=\mathbb N$ सभी बड़े के लिए $X$।
3. सह-छोटे सेट बड़े हैं।

आइए उपरोक्त मेरे दावे के प्रमाण में डुबकी लगाएं। बेशक,$f\colon \mathbb N\to \mathbb N$ निरंतर है अगर और केवल अगर $f(\overline{X})\subset \overline{f(X)}$ सबके लिए $X\subset \mathbb N$। अगर$X$बंद है, यह तुच्छ मामला है। अगर$X$ बंद नहीं है, यानी, न तो छोटा और न ही सभी $\mathbb N$, फिर $\overline X= \mathbb N$ और इसलिए के लिए शर्त $f$ निरंतर होना सभी बड़े के लिए है $X$ हमारे पास है $f(\mathbb N)\subset \overline{f(X)}$। भेद करने के लिए दो अनिवार्य रूप से अलग-अलग मामले हैं, अर्थात्$f( \mathbb N)$ छोटा है या नहीं।

अगर $f(\mathbb N)$ बड़ा है, तो के लिए $f$ निरंतर किया जाना, $\overline{f(X)}$एक बड़ा सेट होना चाहिए, इसलिए, खुद को बड़ा होना चाहिए। परन्तु फिर$f(X)$के साथ शुरू करने के लिए बड़ा रहा होगा। इसके विपरीत, यदि$f$ बड़े सेटों को बड़े सेटों में मैप करता है, फिर स्पष्ट रूप से $f(\mathbb N)\subset \mathbb N=\overline{f(X)}$, जैसी इच्छा।

अगर $f( \mathbb N)$ छोटा है, तो प्रत्येक है $f(X)$; इस प्रकार,$f(X)=f(\mathbb N)$ हर बड़े के लिए $X$, के लिये $f(X)\subset f(\mathbb N)\subset \overline{f(X)}=f(X)$। मैं दावा करता हूं कि यह तभी संभव है जब$f$ स्थिर है।

वास्तव में, चलो $m\in f(\mathbb N)$मनमाना होना। जबसे$\{m\}$यह छोटा है, यह बंद है। इसलिए,$f^{-1}m$ बंद है, इसलिए या तो छोटा है या सभी का है $\mathbb N$। उत्तरार्द्ध मामले का मतलब है कि$f$स्थिर है। यह पूर्व के मामले को खारिज करता है: यदि$f^{-1}m$ छोटे थे, तब $X=\mathbb N-f^{-1}m$ सह-छोटा होगा, इसलिए बड़ा, संतोषजनक $f(X)=f(\mathbb N)-m\subsetneq f(\mathbb N)$, एक विरोधाभास। इससे प्रमाण पूरा हो जाता है।

मुझे 1. और 3. प्रश्न से संबंधित कोई विचार नहीं है।