एक बहुपद खोजने के लिए

Question

मेरा संदेह आज मेरे पास मौजूद एक PRMO मॉडल पेपर से है। प्रश्न की छवि नीचे दी गई है (मुझे अपना दोपहर का भोजन करना था, इसलिए अपना प्रश्न डालने का एक त्वरित तरीका सोचा और इसके साथ समाप्त हो गया):

मैंने क्या कोशिश की :

मुझे लगा की $f(x) - x^3$मुझे बहुपद के द्विघात भाग का मान दे सकता है। नतीजतन, द्विघात भाग को फॉर्म का होना चाहिए$ax^2 +bx + c$मुझे मिलने वाले अंतर हैं:

1. $f(1) - 1^3 = a + b + c = 0$
2. $f(2) - 2^3 = 4a + 2b + c = -4$
3. $f(3) - 3^3 = 9a + 3b + c = -18$

मैं 3 चर में 3 रैखिक समीकरणों को हल करने में विशेषज्ञ नहीं हूं, लेकिन मैंने कोशिश की और अपने बालों को बाहर निकालने की कोशिश की (थोड़ा सा साहित्यिक होने की कोशिश कर रहा हूं; आशा है कि आप शब्दों को ध्यान में नहीं रखेंगे, बल्कि सवाल पर ध्यान केंद्रित करेंगे)। मैंने एक समय में 2 समीकरण लेने की कोशिश की, और एक ही चर के लिए कई मान प्राप्त किए।

मैं किसी का भी आभारी रहूंगा जो मेरी मदद करने को तैयार है।

Answer 1

1. $f(1) - 1^3 = a + b + c = 0$
2. $f(2) - 2^3 = 4a + 2b + c = -4$
3. $f(3) - 3^3 = 9a + 3b + c = -18$

तीसरा समीकरण गलत है

Eq से घटाकर eq (1) (2)

$ 4a + 2b + c -( a + b + c) = -4-0$

$3a +b = -4$------------------------------ eq (3)

Eq (3) से घटाना eq (1)

$9a + 3b + c -(4a + 3b + c) = -18-(-4)$

$5a = -22$ $a = \frac{-2}{5}$ सभी समीकरणों में इसे प्रतिस्थापित करें और आपको उत्तर मिलेंगे

Answer 2

ध्यान दें कि $f(x) = x^2$दिए गए तीन समीकरणों को संतुष्ट करें। लेकिन हम डिग्री चाहते हैं$3$ इसलिए हम जोड़ते हैं $(x-1)(x-2)(x-3)$ और पाओ $$f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) + x^2$$ साथ में $f(4) = 6+16 = 22$।

Answer 3

संकेत: विचार करें $f(x)-x^2$बजाय। पॉलिनॉमिअल्स के साथ काम करना इतना आसान है जो दिए गए बिंदुओं पर 0 हैं।

Answer 4

जबकि समाधान शामिल हैं $x^2$ संभावना है कि प्रश्न-सेटर द्वारा अभिप्रेत हैं, इसका मूल्य प्राप्त करना जल्दी से आसान है $f(4)$परिमित अंतर का उपयोग करके द्विघात को निकाले बिना। लश्कर$g(n) = f(n) - n^3$, जैसे कि ओपी में, द्विघात हो। पहले क्रम के अंतर हैं:

$$\Delta g(1) = g(2)-g(1) = -4 \\ \Delta g(2) = g(3) - g(2) = -14.$$

तो दूसरे क्रम का अंतर है $\Delta^2 g(1) = \Delta g(2) - \Delta g(1) = -10$, जो किसी भी द्विघात (या निम्न) बहुपद के लिए स्थिर है। इसलिये$\Delta^2 g(2) = -10$, इसलिए $\Delta g(3) = \Delta g(2) -10 = -24$, तथा $g(4) = g(3) -24 = -42$।

इसलिए $f(4) = 4^3 -42 = 22$।

Answer 5

हमारे पास है $$a+b+c=0,$$ $$4a+2b+c=-4$$ तथा $$9a+3b+c=-18,$$ जो देता है $$(a,b,c)=(-5,11,-6)$$ तथा $$f(x)=x^3-5x^2+11x-6.$$ इस प्रकार, $$f(4)=22.$$

Answer 6

हमें बहुपद के लिए स्पष्ट रूप से गुणांक निर्धारित करने की आवश्यकता नहीं है, वास्तव में हमारे पास विशिष्टता है

$$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+\frac12(x-2)(x-3)-4(x-1)(x-3)+\frac92(x-1)(x-2)$$

जो दी गई शर्तों के साथ निर्माण करके संतुष्ट करता है $f(1)=1$, $f(2)=4$ तथा $f(3)=9$, फिर

$$f(4)=(3)(2)(1)+\frac12(2)(1)-4(3)(1)+\frac92(3)(2)=6+1-12+27=22$$

जैसा कि अन्य उत्तरों से पता चलता है, हमारे पास और अधिक मुश्किल है

$$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+x^2$$

Answer 7

दिया हुआ $f(x)$ , एक राक्षसी घन बहुपद।

$f(1) = 1$, $f(2) = 4$, $f(3) = 9$

कारक प्रमेय द्वारा हम यह दिखा सकते हैं $(x-1)$,$(x-2)$ तथा $(x-3)$ के कारक हैं $f(x) - x^2$

हमारे पास तीन रैखिक कारक हैं इस प्रकार हम लिख सकते हैं $f(x)$ जैसा,

$f(x) - x^2 = k(x-1)(x-2)(x-3)$, जहां k कुछ स्थिर है

परंतु $f(x)$ एक राक्षसी बहुपद है, इसलिए k = 1 है

इस प्रकार हमारा बहुपद बन जाता है, $f(x) - x^2 = (x-1)(x-2)(x-3)$

पुट लगाना = 4,

$f(4) = 6 + 16 = 22$

प्रतियोगिता गणित की समस्याओं को हल करने के लिए यह सामान्य तकनीक है, आप इसके बारे में अधिक यहाँ पढ़ सकते हैं https://brilliant.org/wiki/polynomial-interpolation/