एक Locus के लिए समीकरण

Question

मैं सोच रहा हूं कि इस लोको को परिभाषित करने वाले समीकरण को खोजने के बारे में कैसे जाना जाए। संक्षेप में, लोकोस सभी बिंदुओं पर निकटतम बिंदु से समान दूरी है$e^x - 1$ जैसा $(0,1)$। जियारत में सेटअप मुझे फ़ंक्शन को बदलने की सुविधा भी देता है जो आसानी से निर्भर करता है जो लगभग हर फ़ंक्शन (एक सीधी रेखा के लिए, यह एक पैराबोला का उत्पादन करता है) के लिए बहुत दिलचस्प परिणाम पैदा करता है।

Answer 1

किसी भी बिंदु से दूरी $P(x, y)$ निर्धारित स्थान पर आवश्यक ठिकानों पर $Q(0, 1)$ द्वारा दिया गया है $$PQ^2=x^2+(y-1)^2$$ उसी बिंदु से दूरी $P(x, y)$ एक स्तर तक $T$ दिए गए वक्र पर $(t, e^t-1)$ द्वारा दिया गया है $$s=PT^2=(x-t)^2+z^2$$ कहां है $z=y-e^t+1$ इसलिये $y-1=z+e^t-2$।

बिंदु $T$ के सबसे नजदीक है $P$ कब अ $s$ एक न्यूनतम wrt है $t$ : $$\frac{ds}{dt}=2(x-t)(-1)+2z(-e^t)=0$$ $$x=t-ze^t$$

आवश्यक स्थान को परिभाषित किया गया है $PQ^2=PT^2$ : $$x^2+(y-1)^2=(x-t)^2+z^2$$

खत्म करने के लिए स्थानापन्न $x, y$ में एक समीकरण छोड़ रहा है $z, t$ : $$(t-ze^t)^2+(z+e^t-2)^2=z^2e^{2t}+z^2$$ $$t^2-2tze^t+e^{2t}+4-2(ze^t-2z-2e^t)=0$$ $$z=\frac{t^2+(e^t-2)^2}{2[(t-1)e^t+2]}$$

नियंत्रण रेखा पर बिंदुओं का समन्वय मापदंडों के संदर्भ में प्राप्त किया जा सकता है $t$ तथा $z(t)$ :

$$x=t-ze^t, y=z+e^t-1$$