एक ODE के लिए एकाधिक समाधान

Question

मैं IVP का हल खोजना चाहता हूं: $$y' = 2\cos(x)\sqrt{y-1},\;\; y\geq1 $$ प्रारंभिक स्थिति के साथ $y(0)=2$।

मैंने सामान्य समाधान प्राप्त करने के लिए चरों के पृथक्करण का उपयोग किया $$y =\left(\sin(x)+C\right)^2 +1.$$

जब मैं एक विशिष्ट समाधान खोजने और खोजने के लिए प्रारंभिक स्थिति का उपयोग करता हूं, तो मुझे वह मिल जाता है $C = \pm 1$।

इन दोनों का मान $C$ मूल अंतर समीकरण में वापस आने पर काम करें।

लेकिन चूंकि ODE सभी के लिए निरंतर है $y\geq 1$ और यह $y$ आंशिक व्युत्पन्न सभी के लिए निरंतर है $y>1$, पिकार्ड के प्रमेय का कहना है कि प्रारंभिक स्थिति के लिए एक अनूठा समाधान होना चाहिए $y(0)=2$।

क्या ऐसा कोई तरीका है जिससे मैं आगे के दो समाधानों को देख सकूं कि कौन सा अमान्य है?

Answer 1

दो समाधान \begin{align}y_1(x)&=(\sin x-1)^2+1\\y_2(x)&=(\sin x+1)^2+1\end{align}उसी फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करते हैं लेकिन स्थानांतरित कर दिया गया। अर्थात्,$\sin(x+\pi)-1=-(\sin x+1)$ तोह फिर $y_1$ है $y_2$ द्वारा स्थानांतरित किया गया $\pi$।

Answer 2

आपको यह सुनिश्चित करने की भी आवश्यकता है कि, दिए गए समीकरण के अनुसार, $y'(0)=2\cos(0)\sqrt{2-1}=2$, यानी ढलान को सकारात्मक होना चाहिए। परंतु$$ y_1'(x)=2\cos x(\sin x-1)\implies y_1'(0)=-2. $$

Answer 3

समाधान $y=(\sin x+C)^2+1$ के लिए अपने अंतर समीकरण का एक समाधान है $C> 0$। समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में, आप कुछ इस तरह से समाप्त करते हैं:$$\sqrt{y-1}=\sin x+C$$ चूंकि यह सकारात्मक वर्गमूल है जिसकी हमें आवश्यकता है $\sin x+C\ge 0$ सभी बिंदुओं पर जहां $y$परिभषित किया; अगर हम चाहें$y$ चारों ओर एक पड़ोस में परिभाषित किया जाना है $0$ तो हमें जरूरत है $C>0$। (के लिये$C\ge 1$ समाधान सभी के लिए मान्य होगा $x$।)

ध्यान दें कि फ़ंक्शन $y=(\sin x+C)^2+1$ हमेशा अंतर समीकरण का एक समाधान है $$(y')^2=4\cos^2x\,(y-1)$$के लिए सभी $C$, सकारात्मक और नकारात्मक दोनों। आपने दिखाया है कि यह बाद की प्रारंभिक स्थिति के साथ DE है$y(0)=2$ वास्तव में एक अनूठा समाधान नहीं है।