एक ताल के क्षेत्र के लिए सूत्र

Question

क्या आप निम्नलिखित दावे को साबित कर सकते हैं? दावे से प्रेरित हैhttps://en.wikipedia.org/wiki/Harcourt%27s_theorem#:%7E:text=Harcourt%27s%20theorem%20is%20a%20formula,Harcourt%2C%20an%20Irish%20professor.।

किसी भी गर्भ में $ABCD$ एक मनमाना स्पर्शरेखा का निर्माण करें। चलो$n_1,n_2,n_3,n_4$ कोने से हस्ताक्षरित दूरी हो $A,B,C,D$क्रमशः स्पर्शरेखा रेखा, जैसे कि विपरीत पक्षों पर बिंदुओं से एक स्पर्शरेखा की दूरी साइन में विपरीत होती है, जबकि एक ही तरफ के बिंदुओं में समान चिह्न होते हैं। द्वारा rhombus की ओर लंबाई को निरूपित करें$a$ और rhombus के क्षेत्र द्वारा $A$ , फिर $a(n_1+n_2+n_3+n_4)=2A$

इस दावे को प्रदर्शित करने वाले जिप एपलेट को ढूंढा जा सकता है https://www.geogebra.org/m/v5ja7cej। मैंने दिए गए हारकोर्ट के प्रमेय के प्रमाण को अनुकूलित करने का प्रयास कियाhttp://forumgeom.fau.edu/FG2003volume3/FG200313.pdf लेकिन सफलता के बिना।

Answer 1

चलो $r$रोम्बस के इनरडियस हो। स्पष्ट रूप से, जब से$A$ तथा $C$ के बारे में सममित हैं $I$, के रूप में $B$ तथा $D$, हमारे पास है$$(n_1-r)+(n_3-r)=0,$$ $$(n_2-r)+(n_4-r)=0.$$ इसलिए, यह साबित करने के लिए पर्याप्त है $$2ar=A.$$हालांकि, यह इस तथ्य का एक तात्कालिक परिणाम है कि किसी भी बहुभुज का क्षेत्रफल उसके अर्धवृत्ताकार समय के बराबर है जो उसके इनरडियस (जब भी बाद में मौजूद हो)।$\blacksquare$