एक तर्कसंगत समीकरण के लिए खो समाधान
एक तर्कसंगत समीकरण को हल करने के लिए, कहते हैं $\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{7}{(x-1)(x-2)}$सामान्य रणनीति यह है कि समीकरण के दोनों पक्षों को कम से कम आम भाजक (एलसीडी) से गुणा किया जाए। इस मामले में, एलसीडी है$(x-1)(x-2)$ और समीकरण पैदावार के दोनों किनारों को गुणा करना $3(x-1)=(x-2)+7$। सवाल अब एक रेखीय समीकरण को हल करने के लिए कम हो गया है और इस रैखिक समीकरण के समाधान तर्कसंगत समीकरण के समाधान होंगे (यह मानते हुए कि वे किसी भी भाजक में शून्य पैदा नहीं करते हैं)।
हालांकि, एलसीडी द्वारा दोनों पक्षों को गुणा करने की यह विधि मुझे अजीब लगती है। हम कैसे 100% निश्चित हैं कि ऐसा करने में हम तर्कसंगत समीकरण के किसी भी संभावित समाधान को "खो" नहीं सकते हैं? क्या यह साबित करने का कोई कठोर तरीका है कि यह तरीका हमें देता है$\textbf{all}$एक तर्कसंगत समीकरण के समाधान के लिए? अगर यह सवाल तुच्छ है, तो मैं माफी चाहता हूं।
सहज रूप से, ऐसा लगता है कि जब हम एलसीडी द्वारा दोनों पक्षों को गुणा करते हैं, तो हम "अस्वीकार किए गए समाधान" से छुटकारा पा रहे हैं जो किसी भी हर में एक शून्य पैदा करेगा।
जवाब
किसी समीकरण का समाधान खोना या प्राप्त करना तब होता है जब आप एक ऑपरेशन करते हैं जो या तो विशिष्ट रूप से उलटा नहीं होता है, या ऐसे ऑपरेशन का उलटा होता है। उदाहरण के लिए, स्क्वरिंग के साथ हम देखते हैं:$$y=x\to y^2=x^2\to y=\pm x$$
कार्यक्रम $x^2$ इंजेक्शन नहीं है और एक अद्वितीय उलटा नहीं है, और इसलिए यह कदम अतिरिक्त समाधान पैदा करता है।
हालांकि, किसी दिए गए बहुपद से गुणा करना किसी भी बिंदु पर ठीक है जहां बहुपद गैर-शून्य है, क्योंकि उस ऑपरेशन का उलटा सिर्फ बहुपद द्वारा कहा गया है।
तो, अपने प्रश्न में, गुणा करके $(x-1)(x-2)$ ठीक है, लेकिन आपको छूट चाहिए $x=1$ तथा $x=2$यदि वे समाधान के रूप में उत्पन्न होते हैं। इस मामले में, वे नहीं हैं, इसलिए आपने कोई समाधान प्राप्त नहीं किया है।
इससे भी बदतर, एक समीकरण को एक सामान्य अभिव्यक्ति से गुणा करना विदेशी समाधान पेश कर सकता है (जब आप शून्य से गुणा करते हैं), लेकिन किसी भी हार नहीं $a=b$, $ac=bc$ सच रहता है।
आपके समीकरण का अर्थ तभी है जब $x\ne1$ तथा $x\ne2$, इसलिए यदि आप गुणा करते हैं $(x-1)(x-2)$, यदि आप इस शर्त को रखते हैं तो आप किसी का परिचय नहीं देंगे।
प्रचार $x\ne 1$ तथा $x\ne 2$शून्य से विभाजन से बचने के लिए। जैसा कि आप साधारण बीजीय हेरफेर करते हैं, आपको मिलता है$3(x-1)-(x-2)-7 =0 \implies x=4$जो किए गए घोषणाओं का खंडन नहीं करता है, यह समाधान सही है। आप इसे प्राप्त करने के लिए मूल समीकरण में भी डाल सकते हैं$3/3=3/2$। तो सब ठीक है, यहाँ आपके प्रश्न में, आप किसी भी तरह से चूक नहीं गए हैं।