एन-श्रेणी की परिभाषा

Question

मानक परिभाषा क्या है, यदि कोई है, तो $n$-श्रेणी 2020 तक? जिस साहित्य में मैं टैप कर सकता हूं, वह काफी सीमित है, लेकिन मैं यह जानने की पूरी कोशिश करूंगा कि अब तक मेरे पास क्या था।

[Lei2001] में, लेइनस्टर ने a के लिए 10 विभिन्न परिभाषाओं का प्रदर्शन किया $n$श्रेणी, और इस पर कोई टिप्पणी नहीं की कि वे समकक्ष हैं या नहीं। [BSP2011] में, लेखकों ने स्वयंसिद्धों को स्थापित किया और दावा किया कि सभी (कई?) की परिभाषाएँ$(\infty,n)$श्रेणी अब तक उनके स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करते हैं, और इसलिए समतुल्य हैं (कुछ कार्रवाई तक)। मैं उन परिभाषाओं को पूर्णता के लिए यहां शामिल करता हूं:

• (ए) चार्ल्स रेजक का पूरा सेगल spaces एन-स्पेस,
• (बी) एन-गुना पूर्ण सेगल रिक्त स्थान,
• (सी) आंद्रे हिर्शोविट्ज और सिम्पसन के सेगल एन-श्रेणियां,
• (डी) क्लार्क बारविक और डैन कान की एन-रिश्तेदार श्रेणियां,
• (() किसी भी आंतरिक मॉडल श्रेणी में समृद्ध श्रेणियां जिनके अंतर्निहित होमोटोपी सिद्धांत (∞, n) -श्रेष्ठियों का एक समरूप सिद्धांत है,
• (f) जब n = 1, बोर्डमैन और वोग्ट के क्वासिकैरीज,
• (g) जब n = 1, Lurie के सरल सेटों को चिह्नित किया गया है, और
• (h) जब n = 2, Lurie के स्केल किए गए सरल सेट,

हालांकि, [Lei2001] में सभी मामले शामिल नहीं हैं, और यहां और भी हैं । परिभाषित करने के बीच महत्वपूर्ण अंतर क्या है$n$-श्रेणी और ए $(\infty,n)$-वर्ग?

सवाल

संक्षेप में, उच्च श्रेणियों के लिए कई परिभाषाएँ हैं .. तो हमें किसका उपयोग करना चाहिए? क्या सभी परिभाषाओं की एक सूची बनाई गई है, और इस पर एक चर्चा किस अर्थ के बराबर है? क्या यह भी चर्चा है कि कौन सी परिभाषा तीन परिकल्पनाओं को संतुष्ट करती है

1. स्थिरीकरण परिकल्पना
2. उलझन परिकल्पना
3. कोबर्डिज्म की परिकल्पना

[BD1995] में पोस्ट किया गया?

संदर्भ

• [Lei2001]: एन-श्रेणी की परिभाषाओं का सर्वेक्षण- [टॉम लींस्टर] - [arXiv: math - 0107188]
• [बीएसपी २०११]: उच्च श्रेणियों की होमोटॉपी थ्योरी की एकता पर- [क्लार्क बारविक और क्रिस्टोफर शोमर-प्राइज] - [arXiv: 1112.0040]
• [BD1995]: उच्च-आयामी बीजगणित और टोपोलॉजिकल क्वांटम फील्ड थ्योरी- [जॉन सी। बैज और जेम्स डोलन] - [arXiv: q-alg - 9503002]

सम्बंधित

• विभिन्न नींवों पर विकास का अनुवाद

Answer 1

सबसे पहले, सख्त की धारणाओं के बीच महत्वपूर्ण अंतर हैं $n$-श्रेणी, कमजोर $n$श्रेणी, और $(\infty,n)$-वर्ग। सबसे आसान धारणा सख्त है$n$श्रेणी, और वहाँ परिभाषा के बारे में कोई संदेह नहीं है : एक सख्त$0$श्रेणी एक सेट है, और प्रेरण द्वारा एक सख्त है $n$श्रेणी श्रेणी एक श्रेणी में समृद्ध है $(n-1)$-श्रेणियाँ।

यह अच्छा है कि आपने बैज़ और डोलन के पेपर का हवाला दिया, जिसने एक कमजोर की धारणा के लिए एक शुरुआती मॉडल पेश किया $n$-वर्ग। 1995 और 2001 के बीच अन्य मॉडलों का भारी प्रसार था। नैतिक रूप से, उन्हें कमजोर की श्रेणी में कमजोर रूप से समृद्ध किया जाना चाहिए$(n-1)$-श्रेणी, लेकिन कमजोर संवर्धन को परिभाषित करने के कई तरीके हैं, क्योंकि उच्चतर कोशिकाओं पर नज़र रखने और उनके संयोजन के कई तरीके हैं। 2004 में सभी को एक साथ लाने और मॉडल के बीच की सामान्यताओं का पता लगाने की कोशिश करने के लिए एक सम्मेलन था , और जो कि दूसरों के बराबर थे। यह "मानक" मॉडल के रूप में उभरने में से एक में परिणाम नहीं हुआ, और मुझे नहीं लगता कि आपको उम्मीद करनी चाहिए कि जल्द ही किसी भी समय ऐसा होगा। हालांकि, अब हम जानते हैं कि कमजोर के लिए मॉडल$n$-श्रेणीएँ मोटे तौर पर दो शिविरों में आती हैं। विकिपीडिया यह अच्छी तरह से कहता है :

मूल रूप से सिद्धांतों के दो वर्ग हैं: वे जिनमें उच्चतर कोशिकाएँ और उच्च रचनाएँ बीजगणितीय रूप से महसूस की जाती हैं (सबसे उल्लेखनीय रूप से माइकल बैटन के कमजोर उच्च श्रेणियों के सिद्धांत) और जिनमें अधिक सामयिक मॉडल का उपयोग किया जाता है (उदाहरण के लिए एक उच्च श्रेणी के रूप में एक सरल सेट संतोषजनक। कुछ सार्वभौमिकता गुण)।

विकिपीडिया यह भी कहता है "कई परिभाषाएँ दी गई हैं, और बता रही हैं कि वे कब और किस अर्थ में समतुल्य हैं, और श्रेणी सिद्धांत में अध्ययन का एक नया उद्देश्य बन गया है।" यह क्षेत्र के बारे में मेरी समझ से मेल खाता है क्योंकि यह वर्तमान में खड़ा है। मुझे लगता है कि कमजोर के लिए कई मॉडलों के बारे में सवालों में दिलचस्पी के रूप में उच्च श्रेणी का सिद्धांत है$n$-श्रेणियाँ। के अध्ययन से अलग है$(\infty,n)$-श्रेणी, जो होमोटॉपी सिद्धांत में अधिक स्थित है।

अब, अन्य लोग भी आ सकते हैं और कह सकते हैं "$(\infty,n)$-श्रेणी सही बात है "क्योंकि MathOverflow में उच्च श्रेणी के सिद्धांतकारों की तुलना में होमोटॉपी सिद्धांतकारों का एक बड़ा प्रतिनिधित्व है। आप फिर से वही पढ़ सकते हैं जो nabab को पढ़ने से प्राप्त होता है, फिर से जो वहां लिखते हैं, उसके आधार पर। लेकिन अगर आप सिडनी, ऑस्ट्रेलिया में बाहर घूमने जाते हैं। जहाँ उच्च श्रेणी का सिद्धांत जीवित और ठीक है, आप लोगों को कहते हुए नहीं सुनेंगे $(\infty,n)$-श्रेणी "सही" मॉडल या इसके लिए एकता सिद्धांत है $(\infty,n)$-श्रेणीएँ 2004 से समस्या का हल निकालती हैं कि कौन से मॉडल कमजोर हैं $n$-श्रेणी समतुल्य हैं।

कमजोर मॉडल के विभिन्न मॉडलों में स्थिरीकरण परिकल्पना, उलझन परिकल्पना और कोबर्डिज्म परिकल्पना से संबंधित बहुत सारे काम चल रहे हैं $n$-श्रेणियाँ। उदाहरण के लिए, बाटन ने हाल ही में रेज़क के मॉडल के आधार पर स्थिरीकरण परिकल्पना को साबित किया$\Theta_n$-स्थान। फिर बैटनिन और मैंने एक और सबूत दिया जो कमजोर की परिभाषाओं की एक पूरी श्रेणी के लिए है$n$-सर्जरी, रेजक के मॉडल सहित। 1998 में मार्ग वापस , कार्लोस सिम्पसन ने तमसमनी की कमजोर एन-श्रेणियों की परिभाषा के लिए स्थिरीकरण परिकल्पना को साबित किया। गेपनर और हग्सेंग ने स्थिरीकरण परिकल्पना के लिए साबित किया$(\infty,n)$श्रेणी और कमजोर संवर्धन के प्रकार आप Haugseng की पीएचडी थीसिस (समृद्ध पर) का उपयोग कर मिल जाएगा $\infty$-श्रेणियाँ)। बेशक, प्रसिद्ध रूप से, लुरी ने कोबर्डिज्म की परिकल्पना को साबित करने के लिए हजारों पृष्ठ लिखे$(\infty,n)$-श्रेणी, और अयाला और फ्रांसिस ने फैक्टरिज़ेशन होमोलॉजी का उपयोग करके एक छोटा सा प्रमाण दिया ।

मुझे यकीन है कि बहुत सारे साहित्य मुझे याद हैं, और मुझे यकीन है कि कुछ लोग मुझसे यह कहने में असहमत होंगे कि "हाँ, कमजोर लोगों के मॉडल का अध्ययन करना अभी भी मूल्यवान है $n$-केवल पढ़ाई करने की बजाय श्रेणी $(\infty,n)$-संग्रहालय। ”लेकिन आपने संदर्भों के लिए कहा तो यहां आपको आरंभ करने के लिए एक गुच्छा है।