$f(xf(x)) = 2f(x)$
प्रश्न कहता है
संतुष्ट होने वाले सभी कार्यों का पता लगाएं$$f(xf(x)) = 2f(x)$$।
समीकरण के दो पक्षों की डिग्री की तुलना करके, कोई भी आसानी से देख सकता है $f$एक गैर-शून्य बहुपद या एक शक्ति कार्य नहीं हो सकता है। जो फ़ंक्शन मुझे अब तक मिला कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है वह तुच्छ है$f(x) =0$। क्या कोई बाकी लोगों को खोजने या मेरे द्वारा पाया गया साबित करने का एक तरीका है? अग्रिम में धन्यवाद।
जवाब
आइए हम सभी सतत (एक बहुत स्ट्रिंग प्रतिबंध!) समाधानों की तलाश करें$\Bbb R\to\Bbb R$ (कई उपकरणों की अनुमति वाला एक डोमेन!)।
साथ में $x=0$, हम ढूंढे $f(0)=0$।
अगर $f(x_0)=1$, फिर $$2=2f(x_0)=f(x_0f(x_0))=f(x_0)=1,$$अंतर्विरोध। हम निष्कर्ष निकालते हैं$f(x)\ne1 $ सबके लिए $x$।
अगर $y=f(x)$ की छवि में है $f$, तो ऐसा है $2y=f(xf(x))$। विशेष रूप से, यदि$f$ कोई सकारात्मक मूल्य प्राप्त करता है, तो $f$ऊपर से निर्बाध है। लेकिन फिर मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय का तात्पर्य है$1$ की छवि में है $f$। हम यह निष्कर्ष निकालते हैं$f(x)\le 0$ सबके लिए $x$।
और अगर $f$ किसी भी नकारात्मक मूल्य को प्राप्त करता है $f$नीचे से निर्बाध है। फिर$f(x_1)=-\frac12$ कुछ के लिए $x_1$। फिर$$ f(-\tfrac12x_1)=f(x_1f(x_1))=2f(x_1)=-1.$$ आईवीटी द्वारा फिर से, वहाँ मौजूद है $x_2$ के बीच $0$ तथा $-\frac12x_1$ साथ में $f(x_2)=-\frac12$। इस प्रक्रिया को दोहराकर, हम एक अनुक्रम प्राप्त करते हैं$\{x_n\}$ ऐसा है कि $f(x_n)=-\frac 12$ तथा $|x_{n+1}|<\frac12|x_n|$, अर्थात, $x_n\to 0$। जैसा$f(0)=0$, यह विरोधाभास निरंतरता है।
हम निष्कर्ष निकालते हैं कि एकमात्र निरंतर समाधान $f\colon \Bbb R\to\Bbb R$ तुच्छ समाधान है।