हर्विट्ज़ के प्रमेय का एक संस्करण
प्रश्न : चलिए$\{f_n\}$ में विश्लेषणात्मक कार्य का एक क्रम हो $\mathbb{C}$ जो समान रूप से कॉम्पैक्ट सबसेट पर समान रूप से परिवर्तित होता है $\mathbb{C}$ एक बहुपद के लिए $p$ की डिग्री $m$। इसके लिए साबित करें$n$ पर्याप्त बड़ी, $f_n$ कम से कम है $m$ शून्य (गिनती गुणन)।
प्रयास : मुझे पता है कि यह हर्विट्ज़ प्रमेय का एक संस्करण है, लेकिन मैं "हर्विट्ज़" को केवल कहना नहीं चाहता। अगर$f_n$ पहचान है $0$, तो समस्या तुच्छ है, तो मान लें कि यह मामला नहीं है। किसी भी बिंदु के लिए$z_0\in\mathbb{C}$, वहां पर एक $r>0$, ऐसा है कि $0<|z-z_0|\leq r$। लश्कर$|z-z_0|=r$ मंडली बनो $C$। फिर, वर्दी पर अभिसरण द्वारा$C$ (जबसे $C$ कॉम्पैक्ट है क्योंकि यह एक सर्कल है) हमारे पास है $\frac{1}{f_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p(z)}$, तथा $\frac{1}{f'_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p'(z)}$। इसलिए,$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{f'_n(z)}{f_n(z)}dz=\frac{1}{2\pi i}\int_C\frac{p'(z)}{p(z)}dz.$$ इसलिए, चूंकि एलएचएस पर इंटीग्रल शून्य की संख्या देता है $f_n(z)=0$ के भीतर $C$, हम देखते है कि $f_n$ तथा $p$ अंदर शून्य की समान संख्या है $C$। दे$r\rightarrow\infty$ पर परिणाम देता है $\mathbb{C}$।
क्या आपको सबूत के साथ कुछ भी गलत लगता है? विशेष रूप से, वहाँ के लिए "के साथ कुछ भी चल रहा है$n$ समस्या के बड़े "या" गिनती गुणकों "के कुछ हिस्सों के बारे में मुझे सावधान रहना चाहिए। किसी भी मदद की बहुत सराहना की जाती है! धन्यवाद।
जवाब
आपके तर्क के साथ कुछ समस्याएं हैं:
किसी भी बिंदु के लिए $z_0\in\mathbb{C}$, वहां पर एक $r>0$, ऐसा है कि $0<|z-z_0|\leq r$।
क्या है $z$ यहाँ?
फिर, वर्दी पर अभिसरण द्वारा $C$ (जबसे $C$ कॉम्पैक्ट है क्योंकि यह एक सर्कल है) हमारे पास है $\frac{1}{f_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p(z)}$, ...
तुम्हें इसकी ज़रुरत है $p(z) \ne 0$ पर $C$ इस निष्कर्ष के लिए।
... तथा $\frac{1}{f'_n(z)}\rightarrow\frac{1}{p'(z)}$।
वह हो सकता है, लेकिन आपको जो चाहिए वह है $f_n'(z) \to p'(z)$ पर $C$।
मैं निम्नानुसार शुरू करूंगा: सबसे पहले, हम मान सकते हैं कि डिग्री $m$ का $p$ कम से कम एक है (अन्यथा दिखाने के लिए कुछ भी नहीं है), ताकि $p$एक गैर-स्थिर बहुपद है। उसके बाद चुनो$r > 0$ इतना बड़ा कि सभी जड़ें $p$ अंदर हैं $\{ |z| < r \}$। अब वृत्त पर विचार करें$C$ त्रिज्या के साथ मूल पर केंद्रित है $r$। ध्यान दें कि$p$ गैर शून्य पर है $C$।
अंत में दिखाते हैं $f_n'/f \to p'/p$ समान रूप से $C$, और तर्क सिद्धांत लागू करें।