होमोटोपी का निर्माण
लश्कर $X,Y$ सामयिक रिक्त स्थान हो और $f,g:X \rightarrow Y$निरंतर नक्शे बनें। मान लीजिए$f,g$ एक होमोटॉपी द्वारा होमोटोपिक हैं $H:X \times [0,1] \rightarrow Y$। लश्कर$\gamma$ में एक रास्ता हो $Y$ समापन बिंदु के साथ $y_0=f(x_0)$ तथा $z_0=g(x_0)$ द्वारा परिभाषित $\gamma(t)=H(x_0,t)$।
लश्कर$\alpha:[0,1] \rightarrow X$ में एक पाश हो $X$ साथ में $\alpha(0)=\alpha(1)=x_0$।
मैं यह दिखाना चाहूंगा कि वे रास्ते हैं$f \circ \alpha$ तथा $\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma})$ एक होमोटोपी का निर्माण करके मार्ग होमोटोपिक हैं $G:[0,1] \times [0,1] \rightarrow Y$।
मुझे पता है$\gamma$ बेस पॉइंट आइसोमॉर्फिज्म के परिवर्तन को प्रेरित करता है $T_{\gamma}:\pi_1(Y;z_0) \rightarrow \pi_1(Y;y_0)$ के द्वारा दिया गया $T_{\gamma}([\beta])=[\gamma \ast \beta \ast \bar{\gamma}]$ सबके लिए $[\beta]\in \pi_1(Y;z_0)$।
मुझे नहीं पता कि इस होमोटोपी का निर्माण कैसे करना है$G$ विशेष रूप से, लेकिन मुझे पता है कि यह निम्नलिखित को पूरा करना चाहिए: $$G(s,0)=(f \circ \alpha)(s)$$ $$G(s,1)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(s)$$ $$G(0,t)=(f \circ \alpha)(0)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(0)$$ $$G(1,t)=(f \circ \alpha)(1)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(1).$$
जवाब
THEOREM: चलो $h:X \to Y$एक सतत कार्य हो। अगर$α,β$ में होमोटोपिक पथ हैं $X$ फिर $hoα$ तथा $hoβ$ में समरूप हैं $Y$।
हमें दिया गया है कि एक निरंतर मानचित्र मौजूद है$H:X×I \to Y$ ऐसा है कि $H(x,0)=f(x)$ तथा $H(x,1)=g(x)$।
इसलिए उस रास्ते को दिखाने के लिए$foα$ तथा $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$ हम जिस रास्ते में दिखते हैं उसके लिए होमोटॉपिक हैं $X×I$ ऐसा है कि एच के तहत उनकी छवि है $foα$ तथा $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$।
लश्कर$c(t)=(x_0,t)$, $p(s)=(α(s),0)$, $q(s)=(α(s),1)$। इसलिये$p$ तथा $c \ast q \ast \hat c$हमारे जरूरी रास्ते हैं।
अब छोडो$G:I×I \to X×I$ के रूप में परिभाषित किया जाएगा $G(s,t)=(α(s),t)$। अब अगर हम अंदर पा सकते हैं$I×I$ ऐसे जी के तहत उनकी छवि है $p$ तथा $c \ast q \ast \hat c$ हम कर रहे हैं क्योंकि इसका मतलब है कि $p$ तथा $c \ast q \ast \hat c$होमोटोपिक हैं।
लश्कर$a(t)= (0,t)$, $b(s)=(s,1)$, $c(t)=(1,t)$ तथा $d(s)=(s,0)$।
यह देखा जा सकता है$d$ तथा $a \ast b \ast \hat c$आवश्यक पथ हैं। अब चूंकि ये दोनों रास्ते हैं$d$ तथा $a \ast b \ast \hat c$ एक ही प्रारंभिक और टर्मिनल बिंदु और उसके बाद से $I×I$बस जुड़ा हुआ है वे होमोटोपिक हैं। का तात्पर्य$p$ तथा $c \ast q \ast \hat c$ समरूपता का तात्पर्य है $foα$ तथा $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$ होमोटोपिक हैं।