IMO समस्या 6 1988 1988 का एक पैराग्राफ समाधान क्यों काम करता है?

Aug 17 2020

इमानौइल अतानासोव ने कहा कि प्रसिद्ध "IMO समस्या को एक ही पैराग्राफ में पूरा किया है और विशेष पुरस्कार प्राप्त करने के लिए नीचे दिए गए प्रमाण को उद्धृत किया है,"

प्रश्न: a और b धनात्मक पूर्णांक हैं जैसे कि $ab+1$ विभाजित $a^2+b^2$ वो दिखाओ $\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ पूर्णांक का वर्ग है

प्रमाण: $k=\frac{a^2+b^2}{ab+1} \implies a^2-kab+b^2=k, k\in \mathbb{Z}$ मान लीजिये $k$एक आदर्श वर्ग नहीं है। ध्यान दें कि किसी भी अभिन्न समाधान के लिए$(a,b)$ हमारे पास है $a>0, b>0$चूँकि k एक पूर्ण वर्ग नहीं है। लश्कर$(a,b)$ के साथ एक अभिन्न समाधान हो $a>0, b>0$ तथा $a+b$न्यूनतम। हम इसका एक और अभिन्न समाधान तैयार करेंगे$(a',b)$ साथ में $a'>0 , \ b>0$ तथा $a'+b<a+b$। विरोधाभास (हम पहुंचने पर तर्क को छोड़ देते हैं$(a',b)$)

$a'=0$ के लिए पर्याप्त है $k$एक वर्ग होने के नाते, लेकिन यह सामान्य रूप से सच नहीं है। इस प्रमाण से लगता है$a'=0$ सभी समाधानों के लिए $(a,b)$। एक ही धारणा का खंडन न्यूनतम है$a+b$, धारणा नहीं $k$एक आदर्श वर्ग नहीं है। इस प्रमाण से मुखर रूप से कैसे पालन किया जाता है?

संपादित करें: यहाँ सबूत संशोधित किया गया है, लेकिन धारणा के बिना $k$ एक आदर्श वर्ग नहीं है।

$k=\frac{a^2+b^2}{ab+1} \implies a^2-kab+b^2=k, k\in \mathbb{Z}$ लश्कर $(a,b)$ के साथ एक अभिन्न समाधान हो $a>0, b>0$ तथा $a+b$न्यूनतम। हम इसका एक और अभिन्न समाधान तैयार करेंगे$(a',b)$ साथ में $a'>0 , \ b>0$ तथा $a'+b<a+b$। विरोधाभास (हम पहुंचने पर तर्क को छोड़ देते हैं$(a',b)$)

मैंने दूसरा वाक्य भी हटा दिया है, क्योंकि $a,b>0$प्रश्न में दिया गया है। इस प्रमाण का क्या अर्थ है कि पहला नहीं है?

जवाब

4 JoséCarlosSantos Aug 17 2020 at 14:04
  1. अगर समाधान हैं $(a,b)$ जिसके लिए $k$ एक आदर्श वर्ग नहीं है, तब $a,b>0$
  2. इसके अलावा, अगर समाधान हैं $(a,b)$ जिसके लिए $k$ एक पूर्ण वर्ग नहीं है, तो उन समाधानों में से एक होगा, जिसके लिए $a+b$ न्यूनतम है।
  3. तब लेखक एक और उपाय खोजता है $(a',b)$ साथ में $a'<a$, जिसका तात्पर्य है $a'+b<a+b$
  4. लेकिन यह असंभव है, क्योंकि हम यह मान रहे थे $(a,b)$ जिसके लिए समाधान था $a+b$ सबसे छोटा मान लेता है।
2 AlexeyBurdin Aug 17 2020 at 14:57

पूर्ण समाधान शब्दशः en.wiki/Vieta जम्पिंग से :

मानक Vieta कूद

मानक Vieta कूद की अवधारणा विरोधाभास द्वारा एक सबूत है, और निम्नलिखित तीन चरणों में शामिल हैं:${}^{[1]}$

  1. एक विरोधाभास की ओर मान लें कि कुछ समाधान मौजूद है जो दी गई आवश्यकताओं का उल्लंघन करता है।
  2. न्यूनतम परिभाषा की कुछ परिभाषा के अनुसार कम से कम इस तरह का घोल लें।
  3. दिखाओ कि यह एक छोटे समाधान के अस्तित्व का तात्पर्य है, इसलिए एक विरोधाभास है।

उदाहरण

समस्या # 6 IMO 1988 में: चलो $a$ तथा $b$ सकारात्मक पूर्णांक इस तरह के हो $ab + 1$ विभाजित $a^2 + b^2$। साबित करो$\frac{a^2 + b^2}{ab + 1}$ एक आदर्श वर्ग है।${}^{[2]}$${}^{[3]}$

  1. कुछ मूल्य तय करो $k$यह एक गैर-वर्ग सकारात्मक पूर्णांक है। मान लें कि सकारात्मक पूर्णांक मौजूद हैं$(a, b)$ जिसके लिए $k = \frac{a^2 + b^2}{ab + 1}$
  2. लश्कर $(A, B)$ जिसके लिए सकारात्मक पूर्णांक हो $k = \frac{A^2 + B^2}{AB + 1}$ और ऐसा $A + B$ कम से कम किया जाता है, और सामान्यता के नुकसान के बिना मान लेते हैं $A \ge B$
  3. फिक्सिंग $B$, बदलने के $A$ चर के साथ $x$ उपज $x^2 – (kB)x + (B^2 – k) = 0$। हम जानते हैं कि इस समीकरण की एक जड़ है$x_1 = A$। द्विघात समीकरणों के मानक गुणों से, हम जानते हैं कि दूसरी जड़ संतुष्ट करती है$x_2 = kB – A$ तथा $x_2 = \frac{B^2 – k}{A}$
  4. के लिए पहली अभिव्यक्ति $x_2$ दिखाता है $x_2$ एक पूर्णांक है, जबकि दूसरी अभिव्यक्ति का तात्पर्य है $x_2 \ne 0$ जबसे $k$एक आदर्श वर्ग नहीं है। से$\frac{x_2^2 + B^2}{x_2B + 1} = k > 0$ यह इस प्रकार है $x_2$एक सकारात्मक पूर्णांक है। आखिरकार,$ A \ge B$ इसका आशय है $x_2 = \frac{B^2 − k}{A} < A$ और इस तरह $x_2 + B < A + B$, जो की न्यूनतम विरोधाभासी है $A + B$
1 twentyyears Aug 17 2020 at 15:17

मुझे लगता है कि मैंने इसका पता लगा लिया है और अलेक्जेंडर के जवाब में दिए गए विकिपीडिया सबूत के लिए तर्क दूंगा क्योंकि तर्क समान हैं और मुझे लगता है कि स्रोत "omitting" चरणों में अविश्वसनीय है।

की न्यूनतमता $A+B$प्रतिवाद किया जाता है। (2) और (3) अप्रासंगिक हैं$k$। (४) कहते हैं$x$ नहीं हो सकता $0$ अगर $k$एक आदर्श वर्ग नहीं है। इसलिए$x\neq 0$। लेकिन अगर$x\neq 0$, विशुद्ध रूप से बीजगणित के माध्यम से, के स्वतंत्र $k$चौकोर होना या न होना, हम न्यूनतमता का खंडन करते हैं। तो, क्रूक्स,$(A,B)$ कम करता है $A+B$। केवल$x_2=0$। चूंकि कोई न्यूनतम नहीं है$(A,B)$ जोड़े जब $k$ एक वर्ग नहीं है, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ऐसी कोई जोड़ी नहीं है।

अतनसोव ने इसे इतना तुच्छ पाया या नहीं कि उसने इसे अपने सिर में रखा, यह एक रहस्य बना हुआ है।