का आदेश क्या है $\bar{2}$ गुणक समूह में $\mathbb Z_{289}^×$?
का आदेश क्या है $\bar{2}$ गुणक समूह में $\mathbb Z_{289}^×$?
मुझे पता है $289 = 17 \times 17$
तो यह होगा $2^8\equiv 256\bmod17 =1$
और इसलिए का क्रम $\bar{2}$ है $8$? मैं इस बारे में निश्चित नहीं हूं
जवाब
यह केवल तुच्छ गणनाओं का उपयोग करके मानसिक रूप से बहुत आसान किया जा सकता है।
$\!\bmod 17\!:\,\ 2^4\equiv -1\,\Rightarrow\, 2^8\equiv 1\Rightarrow 2\,$ आदेश दिया है $\,\color{#c00}{o(2) = 8}\,$ऑर्डर टेस्ट द्वारा ।
$\!\bmod 17^2\!:\ n\!:=\!o(2)\Rightarrow\,2^n\equiv 1\,$ इस प्रकार $\bmod 17\!:\ 2^n\equiv 1\,$ इस प्रकार $\, \color{#c00}8\mid n\,$ इसलिए $\,n = 8k$।
$\!\bmod 17\!:\ 2\equiv 6^2$ इस प्रकार $\,2\,$ एक है $\rm\color{#0a0}{square}\bmod 17^2\:\!$ भी इसलिए $\,o(2)=8k\mid \phi(17^2)/\color{#0a0}2 = 8\cdot 17$।
इसलिए $\,k\!=\!1$ या $17.\,$ परंतु $\,k\!\neq\! 1\,$ द्वारा $\,2^8\!\equiv\! 256\!\not\equiv \!1\pmod{\!289}\,$ इसलिए $\,k\!=\!17,\,$ इसलिए $\,o(2)\! =\! 8(17)\!=\!136$।
$256 \equiv 1 \pmod {17}$ परंतु $256\not \equiv 1 \pmod {289}$ जो हमें चाहिए।
लेकिन नहीं $289 = 17\times 17$ इसलिए $\phi (289) = 17\cdot16$ इसलिए $2^{17\cdot 16}\equiv 1\pmod {289}$ यूलर्स प्रमेय द्वारा।
लेकिन आदेश कुछ छोटा हो सकता है जो विभाजित होता है $17\cdot 16$।
हम यह समझ सकते हैं $2^8 = 17*15 + 1 \equiv 17*(-2) + 1\pmod{17^2}$ इसलिए
$2^{16} \equiv 17^2 *4 + 2*(-2)*17 + 1 \equiv -67 \pmod {289}$।
का आदेश है $2$ नहीं है $16$ और इस तरह कुछ भी नहीं है जो विभाजित हो $16$। का आदेश है$2$ के एक से अधिक होगा $17$। का एक बहु होना$17$ वह बंटता है $16*17$।
तथा $2^{17} \equiv -8*17+2$
$2^{2*17} \equiv (-8*17+2)^2 \equiv -32*17+ 4\equiv 2*17+4 \equiv 38\pmod{289}$।
$2^{4*17} \equiv 4^2*17^2 + 16*17 + 4^2 \equiv 16*17 +16\equiv 18*16\equiv 1*(-1)\equiv -1 \pmod {289}$।
इसलिए $2^{8*17}\equiv (-1)^2 \equiv 1 \pmod {289}$।
का आदेश है $2$ है $8*17= 136$।
नहीं ।
के लिए $\bar 2$ में $\mathbb Z_{17}^\times$ है $8$ चूंकि $2^8\equiv1\pmod{17}$।
तथापि, $2^8\not\equiv1\pmod{289}$, इसलिए $8$ का आदेश नहीं है $\bar2$ में $\mathbb Z_{289}^\times$।
के लिए $\bar 2$ में $\mathbb Z_{289}^\times$, यानी सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक $k$ ऐसा है कि $2^k\equiv1\pmod{289}$, है $136$। (मैंने इसे प्राप्त करने के लिए अपने कंप्यूटर का उपयोग किया।)
तथ्य:
लश्कर $\operatorname {ord}_n(a)$ का आदेश हो $\bar a$ में $\mathbb Z_{n}^\times$। फिर, प्राइम के लिए$p$ और सकारात्मक पूर्णांक $k<l$, $$ \operatorname {ord}_{p^k}(a)\mid\operatorname {ord}_{p^l}(a). $$ उदाहरण के लिए, $8\mid136$।
$2^8\equiv1\bmod17$, इसलिए
$2^{128}+2^{120}+2^{112}+\cdots+2^{16}+2^{8}+1\equiv1+1+1+\cdots+1+1+1=17\equiv0\bmod17,$
इसलिए $2^{136}-1=(2^{128}+2^{120}+2^{112}+\cdots+2^{16}+2^{8}+1)(2^8-1)\equiv0\bmod289$,
परंतु $2^8-1=255\not\equiv0\bmod289$,
तथा $2^{68}-1\not\equiv0\bmod289$ चूंकि $2^{68}-1\equiv2^4-1=15\not\equiv0\bmod17$,
इसलिए, आदेश परीक्षण ( बिल डब्यू के जवाब में जुड़ा हुआ है ) के क्रम से$2$ आधुनिक $289$ है $136$।
सेट को परिभाषित करें $H \subset {\displaystyle (\mathbb {Z} /289\mathbb {Z} )^{\times }}$ द्वारा
$\tag 1 H = \bigr\{[a + 17m] \,\large \mid \, \normalsize a \in \{-1,+1\} \text{ and } 0 \le m \lt 17\bigr\}$
यह दिखाना आसान है $H$ बिल्कुल शामिल हैं $34$ तत्व।
प्रस्ताव 1: सेट $H$गुणन के तहत बंद है।
प्रमाण
विचार करें,
$\quad (a + 17m)(b+17n) = ab + 17(an +bm) + mn\cdot 17^2$
विभाजित करते समय $an +bm$ द्वारा $17$ गैर-नकारात्मक अवशेष प्राप्त करने के लिए। $\quad \blacksquare$
तो हम राज्य कर सकते हैं (बुलेट देखें) $1$के इस प्राथमिक समूह के सिद्धांत)
प्रस्ताव 2: सेट $H$ आदेश का एक समूह बनाता है $34$।
जारी है,
प्रस्ताव 3: तत्व $[16]$ उत्पन्न करता है $H$।
सबूत
के आदेश$[16]$ बांटना चाहिए $34$।
के लिए$[16]$ के बराबर नहीं है $2$। इसके अलावा, द्विपद प्रमेय को लागू करके हम लिख सकते हैं
$\quad 16^{17} = \bigr((-1) + 17\bigr)^{17} = (-1)^{17} + \binom{17}{16}(-1)^{16}\cdot 17^{1} + K\cdot 17^2 \equiv -1 \pmod{289}$
और इसलिए के आदेश $[16]$ होना चाहिए $34$। $\quad \blacksquare$
दो तरीके हैं जिनका उपयोग हम यहां ऑर्डर करने के लिए कर सकते हैं $[2]$।
विधि 1:
जबसे $[2]^4 = [16]$ तथा $[2] \notin H$ के लिए $[2]$ से कड़ाई से अधिक है $34$। इस तथ्य के साथ भी और
$\quad [2]^{136} = [16]^{34} = [1]$
हमें यह निष्कर्ष निकालना चाहिए कि $[2]$ या तो $68$ या $136$।
अभी
$\quad [2]^{68} = [16]^{17} \ne [1]$
और इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि $[2]$ है $136$।
विधि 2
जबसे $[2]^1, [2]^2, [2]^3 \notin H$ तथा $[2]^4 = [16] \in H$हम यहां पाए गए समूह सिद्धांत को नियोजित कर सकते हैं और निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि किसके आदेश$[2]$ है $4 \times 34 = 136$।