का समाधान सेट $\frac x{x+2}>0\land\frac{x+1}{x+2}<1$ [बन्द है]

Question

ठीक है लोग, $\Im$बेवकूफ। मैं इस पर शाब्दिक 2 दिनों के लिए काम कर रहा हूं लेकिन फिर भी मैं समझ नहीं पा रहा हूं।

यहाँ सवाल है: $$\frac x{x+2}>0\land\frac{x+1}{x+2}<1$$समाधान क्या है? [जवाब है$(0,\infty)$]

मुझे पहली असमानता के साधन मिले $x > 0$ और दूसरा कहता है $x > -2$ लेकिन यह मेरे व्याख्याता द्वारा दिए गए समाधान को निर्धारित नहीं करता है जो कि है $(0,\infty)$।

Answer 1

आपके तर्क के साथ समस्या यह है कि जब आप एक ऋणात्मक संख्या से गुणा करते हैं, तो असमानता में परिवर्तन होता है। इसलिए, यह सच नहीं है$x > 0$के लिए सभी वास्तविक $x$, लेकिन केवल जब $x + 2 > 0$।

पहले भाग के लिए, मेरा सुझाव है कि आप मामलों में विभाजित हो जाएं। कब$x + 2 > 0$, आपको मिलता है $x > 0$। लेकिन जब$x + 2 < 0$, तो गुणा करके $x+2$ दोनों तरफ देता है:

$$x \color{red}{<} x+2 $$

जो सभी के लिए सत्य है $x$हालत में। इसलिए, के संभव मूल्यों$x$ कर रहे हैं $x > 0, x < -2$।

दूसरे भाग के लिए, $-\frac{1}{x+2} < 0$सही है ताकि आप जारी रख सकें। यहां से, से गुणा करें$-1$ लेना:

$$\frac{1}{x+2} \color{red}{>} 0$$

और अब के संभावित मूल्यों को खोजने के लिए एक समान विधि का उपयोग करें $x$।

Answer 2

इस तरह की असमानताओं को हल करने का सबसे अच्छा तरीका अलग-अलग मामलों में विभाजित नहीं होना है $\underline{\text{combine the fractions}}$।

आपकी पहली असमानता के लिए: $$\frac{x}{x+2} >0 \iff x(x+2)>0 \iff x \in (-\infty, -2)\cup (0, \infty) \tag 1$$

आपकी दूसरी असमानता के लिए: $$\frac{x+1}{x+2} < 1 \iff \frac{x+1}{x+2}-1 = - \frac{1}{x+2} < 0 \iff x+2 >0 \tag 2$$

आप मिल (1) और (2) $x>0$।

एक अन्य उदाहरण के लिए, बुनियादी असमानता को हल करना देखें

Answer 3

ठीक है तो पहले असमानता पर विचार करें: $$\frac{x}{x+2}>0\tag{1}$$ इसके लिए या तो सच हो $x>0$ इसलिए ऊपर और नीचे दोनों सकारात्मक हैं, या हमारे पास हो सकते हैं $x<-2$ और इसलिए इस असमानता का समाधान होगा $x\in(-\infty,-2)\wedge(0,\infty)$।

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अब दूसरे के लिए: $$\frac{x+1}{x+2}<1\tag{2}$$ $$1-\frac{1}{x+2}<1$$ $$-\frac 1{x+2}<0$$ $$\frac{1}{x+2}>0$$ और इससे स्पष्ट है कि समाधान है $x>-2$ इसलिए: $x\in(-2,\infty)$। अब दोनों के लिए एक साथ सही होने के लिए हमें यह खोजने की आवश्यकता है कि ये डोमेन कहां ओवरलैप हैं, जो कि होगा$x\in(0,\infty)$