का समूह $\mathbb{Z}[1/p]$

Question

मैं गणना करने की कोशिश कर रहा हूं $\operatorname{Ext}_{\mathbb{Z}}^1(\mathbb{Z}[1/p],\mathbb{Z})\cong \mathbb{Z}_p/\mathbb{Z}$।

अब मेरे पास प्रक्षेपी संकल्प है $$0\rightarrow \bigoplus_{i>1}\mathbb{Z}\xrightarrow{\alpha} \mathbb{Z}\oplus \bigoplus_{i>1}\mathbb{Z}\xrightarrow{\beta} \mathbb{Z}[1/p]\rightarrow 0 .$$ वो नक्शा $\alpha$ द्वारा दिया गया है $(a_i)_{i>0}\mapsto (-\Sigma a_i, a_ip^i)$ तथा $\beta$ द्वारा दिया गया है $(b_i)_{i\geq 0}\mapsto \Sigma_{i\geq 0} b_i/p^i$।

अब आवेदन करें $\operatorname{Hom}(-,\mathbb{Z})$, मैं दोहरी मैप के कर्नेल की गणना करना चाहता हूं $\prod_{i>1}\mathbb{Z}\xleftarrow{\alpha^*} \mathbb{Z}\prod (\prod_{i>1} \mathbb{Z})$ जिसके द्वारा दिया गया है $(f_0,0,\dots)\mapsto f_0'$ तथा $(0,\dots,f_i,\dots )\mapsto (0,\dots,p^if_i,\dots )$, कहां है $f_0': \prod_{i>1}\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$, $f_0'((a_i))=f_0(\Sigma a_i)$। क्या यह देखने का कोई तरीका है कि यह कर्नेल क्या है और इसका भागफल कैसा है$\prod_{i>1} \mathbb{Z}$ इस कर्नेल द्वारा है $\mathbb{Z}_p/\mathbb{Z}$?

Answer 1

आइए इसके बजाय इंजेक्शन के प्रस्तावों द्वारा करें। मैं लिखूंगा$A$ के लिये $\Bbb Z[1/p]$। फिर$$0\to\Bbb Z\to\Bbb Q\to\Bbb Q/\Bbb Z\to0$$ का एक इंजेक्शन संकल्प देता है $\Bbb Z$। इसलिए$\text{Ext}^1(A,\Bbb Z)$ का कोकबर्न है $$\text{Hom}(A,\Bbb Q)\to\text{Hom}(A,\Bbb Q/\Bbb Z).$$ यह देखना आसान है $\text{Hom}(A,\Bbb Q)\cong\Bbb Q$ के जरिए $f\mapsto f(1)$। का एक तत्व क्या है$\text{Hom}(A,\Bbb Q/\Bbb Z)$? यह पूरी तरह से द्वारा वर्णित है$f(1/p^k)=a_k+\Bbb Z$ कहां है $a_k\in\Bbb Q$ तथा $pa_{k+1}-a_k\in\Bbb Z$। की छवि$\text{Hom}(A,\Bbb Q)$ उन के होते हैं $f$ कहां है $f(1/p^k)=a/p^k$ कुछ के लिए $a\in\Bbb Q$। हम इनमें से एक को सामान्य से घटा सकते हैं$f$ और मान लीजिए $a_0=0+\Bbb Z$ और फिर भी $pa_{k+1}-a_k\in\Bbb Z$। फिर$a_k=b_k/p^k$ कहां है $b_k\in\Bbb Z$ तथा $b_k$ परिभाषित मोडुलो है $p^k$; भी$b_{k+1}\equiv b_k \pmod{p^k}$। इस प्रकार$(b_k)$ एक तत्व का प्रतिनिधित्व करता है $b$ की $p$-आधार पूर्णांक $\Bbb Z_p$।

हमें अभी भी चुनने में कुछ स्वतंत्रता है $a$; ज़रुरत है$a+\Bbb Z=f(0)+\Bbb Z$, तो हम अभी भी बदल सकते हैं $a$ एक पूर्णांक द्वारा, जो बदलता है $b$एक पूर्णांक द्वारा। तो कोकबर्न isomorphic to है$\Bbb Z_p/\Bbb Z$।

मुझे यकीन है कि यह सब प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम सीमा द्वारा किया जा सकता है ...।