कैंटर्स प्रमेय प्रमाण

Question

मैं कैंटरों प्रमेय के लिए अपने स्वयं के प्रमाण पर काम कर रहा हूं जिसने कोई सेट ए दिया, वहां एक फ़ंक्शन मौजूद नहीं है: ए -> पी (ए) जो चालू है। मैं सोच रहा था कि क्या यह दिखा कर यह साबित करना संभव होगा कि A की कार्डिनैलिटी P (A) से कम है जो इस बात का प्रमाण है कि सेट A के तत्व n हैं और P (A) 2 ^ n तो n <2 ^ हैं। n सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए (प्रेरण द्वारा)। और कार्डिनैलिटी कम होने के कारण यह विशेषण नहीं है क्योंकि कोडन के सभी तत्वों को डोमेन द्वारा मैप नहीं किया जाता है?

Answer 1

यदि आप इस तर्क को अनंत सेट तक विस्तारित करने का प्रयास करते हैं, तो यहां बताया गया है कि यह कैसे होता है:

• चलो $\alpha$ की कार्डिनैलिटी हो $A$।
• फिर की कार्डिनैलिटी $\mathcal P(A)$ है $2^\alpha$अनिवार्य रूप से संकेतन की परिभाषा द्वारा $2^\alpha$।
• फिर हम इस तथ्य का उपयोग करना चाहते हैं कि $\alpha < 2^\alpha$ ...

... लेकिन दावे की परिभाषा (या एक समकक्ष परिभाषा) "$\alpha < 2^\alpha$"ठीक है कि वहाँ से नक्शे पर नहीं है $A$ सेवा $\mathcal P(A)$।

परिमित कार्डिनल्स के विपरीत, जहां तथ्य के कलन-आधारित या दहनशील प्रमाण होते हैं $n<2^n$, हमारे पास दावे का प्रमाण नहीं है $\alpha < 2^\alpha$ अनंत कार्डिनल्स के लिए $\alpha$ मूल कथन को सिद्ध करने की अपेक्षा यह सरल है।