कार्यात्मक पथरी की बड़ी निरंतरता
चलो $0<\beta<1$ तथा $ f \colon [0,1] \to [0,1]$ हो $\beta$ निरंतर के साथ होल्डर $C$। चलो$H$ एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष और हो $A,B$ स्वयं सहायक ऑपरेटर हो $H$, ऐसा है कि $\sigma(A+B),\sigma(A) \subset [0,1]$। तब हम परिभाषित कर सकते हैं$f(A+B)$ तथा $f(B)$निरंतर कार्यात्मक पथरी के द्वारा। क्या हमारे पास तब अनुमान है$$ \left \lvert \operatorname{tr} (f(A+B)-f(A)) \right \rvert \le C \lVert B \rVert_\beta^\beta$$ संपादित करें: अर्ध-आदर्श $\lVert B \rVert_\beta$ श्टटेन वॉन न्यूमैन अर्ध-आदर्श है।
यह ऑपरेटरों को कम्यूट करने के लिए है $A,B$और यह 2x2 मैट्रिसेस के लिए धारण करने लगता है, अगर मैंने सही गणना की। वहाँ भी मजबूत परिकल्पना है, कि किसी भी एकात्मक समकक्ष आदर्श के लिए$\lVert \cdot \rVert$, हमारे पास अनुमान है $$ \left \lVert f(A+B) - f(A) \right \rVert \le C \lVert \lvert B \rvert^\beta\rVert$$मुझे ऑपरेटर और उसके उत्तर के लिए होडर की निरंतरता के सवाल से अवगत है , लेकिन यह अलग है, क्योंकि तुच्छ काउंटर उदाहरण नहीं रखता है। विशेष मामला$f(t)=t^\beta$ उस प्रश्न के उत्तर में सत्य कहा गया है।
जवाब
इस तरह के सवालों का अधिक अध्ययन किया गया है, विशेष रूप से अलेक्जेंड्रोव और पेलर द्वारा। संभवतः सबसे प्रासंगिक संदर्भ वर्ग के गड़बड़ी के तहत ऑपरेटरों के पेपर फ़ंक्शंस हैं$S_p$अलेक्जेंड्रोव और पेलर, जे। फंक्शनल द्वारा। गुदा। 258 (2010)। Zbmath लिंक या mathscinet लिंक ।
विशेष रूप से यह वहाँ सिद्ध होता है (प्रमेय 9.14) जो कि प्रत्येक के लिए है $\beta<1$ तथा $p \leq 1$, वहां एक है $\beta$-हेल्ड-निरंतर कार्य $f$ और ऑपरेटर $A$, $B$ ऐसा है कि $B \in S_{1}$ ऐसा है कि $f(A)-f(B)$ से संबंधित नहीं है $S_{1/\beta}$। विशेष रूप से,$B \in S_\beta$ तथा $f(A) -f(B)$ से संबंधित नहीं है $S^1$।
उल्लेखनीय रूप से, यह इष्टतम है (प्रमेय 9.13): प्रत्येक के लिए $p>1$, और हर $\beta$-बहुत निरंतर कार्य $f$, $f(A+B) - f(A)$ का है $S_{p/\beta}$ जब कभी $B$ का है $S_p$।
एक ही पेपर में, पर्याप्त शर्तें $f$ जिसका अर्थ है कि $\|f(A+B)-f(A)\|_1 \leq \|B\|_\beta^\beta$ निकाली गई है।