की Isomorphism $S^1$।

Question

परिभाषित करें $S^1 = \{ z \in \mathbb{C^*} \: : \: |z| = 1 \}$। मेरा सवाल यह है कि क्या कोई रिंग मौजूद है$R$ ऐसा है कि $(R, + )$ isomorphic है $S^1$? मेरा अंतर्ज्ञान कहता है, लेकिन मैं ऐसा कैसे दिखाऊंगा।

Answer 1

जवाब न है: $S^1$ विभाज्य है, किसी के लिए अर्थ $x\in S^1$ और कोई भी $n\in \mathbb Z$, वहाँ है $y$ साथ में $y^n = x$। अगर हम लिखते हैं$S^1$ additively, यह कहता है $ny = x$।

विशेष रूप से, यदि $e$ रिंग संरचना की गुणक इकाई है $S^1$, $e$ विभाज्य है, जो विशेष रूप से इसका तात्पर्य है $n\cdot e$ हर के लिए उल्टा है $n$: चलो $y$ बदला देना $n\cdot y =e$, फिर $e= n\cdot y = (n\cdot e)y$।

विशेष रूप से, यदि $n\cdot x = 0$, फिर $(n\cdot e) x= 0$, ताकि $x=0$: इसका मतलब होगा $S^1$ मरोड़ मुक्त है, जो यह नहीं है।

Answer 2

यह सवाल का जवाब नहीं है । यहाँ मैं निम्नलिखित प्रश्न का उत्तर देने जा रहा हूं। क्या वहां पर एकात्मक-रिंग संरचना मौजूद है$(\Bbb R/ \Bbb Z,+)$ टिप्पणी अनुभाग के बाद ।

मान लीजिए कि एक और ऑपरेशन है $\bullet$ ऐसा है कि $(\Bbb R/\Bbb Z,+, \bullet)$ के साथ एक अंगूठी बन जाती है $\bullet$-पहचान $e\in\Bbb R/\Bbb Z$ ऐसा हमारे पास है $k\in \Bbb N$ साथ में $ 0=e+...+e(k$-टाइम्स एडिशन$)$, कहाँ पे $ 0$ की योगात्मक पहचान है $(\Bbb R/ \Bbb Z,+)$। अब, किसी के लिए$x\in\Bbb R/\Bbb Z$ हमारे पास है $$x+...+x=(e\bullet x)+...+(e\bullet x)=(e+...+e)\bullet x=0\bullet x=0,$$ जो हमें बताता है $x\in\Bbb R/\Bbb Z$ अधिक से अधिक होना चाहिए $k$-एएस additive आदेश, एक विरोधाभास, के बाद से $(\Bbb R/\Bbb Z,+, \bullet)$सभी आदेशों के तत्व हैं। इसके अलावा सभी का प्रतिनिधित्व करता है$k$-टाइम्स एडिशन

ऊपर तथ्य का एक विशेष मामला है। यदि किसी समूह में प्रत्येक क्रम के तत्व होते हैं और प्रत्येक तत्व में परिमित क्रम होता है, तो समूह पर एकात्मक वलय संरचना नहीं होती है।

जो बचा है, वह वहाँ एकात्मक-वलय है $(\Bbb R/\Bbb Z,+,*)$ wrt कुछ गुणा $*$ ऐसा है कि $*$की घटना $(\Bbb R/\Bbb Z,+,*)$अनंत एडिटिव ऑर्डर है? दूसरे शब्दों में,$*$-सत्ता रूप की है $\alpha+\Bbb Z$ कुछ तर्कहीन के लिए $\alpha?$

दूसरे प्रश्न का उत्तर: यदि$(\Bbb R/\Bbb Z,+,∗)$ यूनिट के साथ एक अंगूठी थे $u$, तब से $\Bbb R/\Bbb Z$ एक तत्व मौजूद होगा विभाज्य है $v$ ऐसा है कि $v+v=u$, परन्तु फिर $\overline{1/2}=u∗\overline{1/2}=(v+v)∗\overline{1/2}=v∗(\overline{1/2}+\overline{1/2})=v*\overline 1=v*\overline 0=\overline 0$, एक विरोधाभास।