कितने पासवर्ड संभव?

Question

बैंक के लिए एक पासवर्ड जिसमें 11 अक्षर शामिल हैं, से बनाया जा सकता है$A,B,..Z$ अक्षर (केवल ऊपरी मामला) जैसे कि पासवर्ड में अक्षर शामिल होना चाहिए $A$ 5 बार और $Z$ ठीक 3 बार, कितने अलग-अलग पासवर्ड बनाए जा सकते हैं?

मुझे पत्रों की शर्तों को लागू करना कठिन लगता है $A$ तथा $Z$, मुझे पता है कि एक सामान्य स्थिति में स्थिति के बिना है $26^{11}$ विकल्प, अब मैं निषिद्ध पासवर्ड की संख्या को समझना चाहूंगा।

Answer 1

जबसे $8$ पासवर्ड के स्थान तय हो गए हैं, आइए शेष पर विचार करें $3$ शेष स्थानों को भरा जा सकता है $24$ पत्र।

की संख्या "$3-24$“पासवर्ड है $24^3$।

अब, द्वारा रचित पासवर्ड पर विचार करें $5$ "ए", $3$ "Z" और $3$"*"। इन पासवर्डों की संख्या है$$\frac{11!}{5!3!3!}.$$

ध्यान दें कि मल्टीसेट के क्रमपरिवर्तन के सूत्र का उपयोग करके इस संख्या का मूल्यांकन किया जाता है ।

इसलिए, आपकी आवश्यकताओं को संतुष्ट करने वाले कुल पासवर्ड हैं:

$$24^3 \cdot \frac{11!}{5!3!3!} = 127'733'760.$$

ध्यान दें कि "*" अक्षर "से मेल खाते हैं"$3-24$"पासवर्ड।

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एक अधिक प्रभावी व्याख्या निम्नलिखित है:

\ start {array} {ccccccccccc} A & A & A & A & A & Z & Z & Z & * & * और * \\ A & A & A & A & A & Z & Z & * & Z & * & * \\ A & A & A & A & A & Z & * & Z & Z & * & \ _ & & & \ _ddots \\ * & * और * & Z & Z & Z & A & A & A & A & A \\ \ end {सरणी}

इस तालिका की पंक्तियों की संख्या है $\frac{11!}{5!3!3!}$। प्रत्येक पंक्ति के लिए, आप बिल्कुल बना सकते हैं$24^3$ पासवर्ड "*" के लिए अलग-अलग अक्षरों को असाइन करते हैं।

Answer 2

वहां $11 \choose 5$ 5 के लिए स्थान चुनने के तरीके $A$एस। इसके बाद किया जाता है, वहाँ हैं$6$ धब्बे शेष हैं, और इसलिए हैं $6 \choose 3$ 3 के लिए स्थानों का चयन करने के लिए $Z$एस।

अभी है $11 - 5 - 3 = 3$धब्बे छोड़ दिए। अब वहां हैं$24$ अक्षरों को चुनने के लिए छोड़ दिया गया (तब से $A$ तथा $Z$ का उपयोग किया गया है), और अक्षरों को दोहराया जा सकता है, इसलिए हैं $24^3$ इनको भरने के तरीके $3$ धब्बे।

इसलिए कुल है ${11 \choose 5} \cdot {6 \choose 3} \cdot 24^3 = 127 \ 733 \ 760 $।

Answer 3

सबसे पहले, ध्यान दें कि आठ अक्षर तय किए गए हैं। अब, शेष तीन अक्षरों में से कोई भी पत्र हो सकता है$A$ तथा $Z$। वहां${}^{24}C_3$इसके लिए संयोजन। अब, ये 11 अक्षर खुद को आपस में बदल सकते हैं$11!$ तरीके।

लेकिन आपस में भिड़ जाते हैं $5$ $A$'रेत $3$ $Z$महत्वपूर्ण नहीं हैं। इसलिए, क्रमपरिवर्तन (इंटरचेंज) की कुल संख्या है$$\frac{11!}{5!\cdot 3!} = 332640$$

गुणन सिद्धांत द्वारा, कुल पासवर्ड की संख्या है $${}^{24}C_3\times 332640 = 4039518160$$

आशा करता हूँ की ये काम करेगा :)