क्या एक से अधिक छद्म-कैटलन ठोस है?
यह सवाल एक साल पहले एमएसई से पूछा गया था। इस प्रश्न के लिए प्रेरणा यहाँ , यहाँ या यहाँ अन्य MSE प्रश्नों में मिल सकती है ।
उत्तल ठोस में समरूपता के सभी प्रकार हो सकते हैं:
प्लेटोनिक सॉलिड्स वर्टेक्स और फेस-ट्रांसेटिव हैं, जिसका अर्थ है कि 3-आयामी स्पेस के घुमावों का एक उपसमूह है जो किसी भी शीर्ष को किसी अन्य पर (और चेहरे के लिए एक ही) ला सकता है। वहाँ की सूची 5 प्लेटोनिक ठोसों तक सीमित है।
चेहरा संक्रमणीय (या इओहेड्रल) ठोस पदार्थों में डिपिडिरमिड्स का कैटलिड ठोस (अनंत परिवार) और ट्रेपोज़ोहेड्रा (अनंत परिवार) शामिल हैं। ध्यान दें कि आगे के प्रतिबंधों के बिना ये ठोस अनंत परिवारों में आ सकते हैं: रंबिक डोडेकाहेड्रॉन में अनंत संख्या में डेल्टोइडल चचेरे भाई होते हैं ( डेल्टोएडल डोडेकेरेडन देखें ); यह डोडेकेहेड्रा के एक-पैरामीटर परिवार में भी फिट बैठता है जिसे पिरिटोहेड्रा कहा जाता है ; द्वादशफ़लक और कहा जाता है एक पैरामीटर परिवार में triakis चतुर्पाश्वीय फिट tetartoid ; डिपाइरामिड्स और ट्रेपेज़ोहेड्रोन भी चेहरों की संख्या के साथ सभी प्रकार के विकृति स्वीकार करते हैं।
वहाँ एक बहुत कमजोर समरूपता के लिए पूछ सकते हैं। चलो इसे छद्म-कैटलन कहते हैं (बेहतर नाम की कमी के लिए)। एक "केंद्र" तय करें$C$। उत्तल ठोस छद्म-कैटलन है, अगर प्रत्येक चेहरे को केंद्र के साथ एक घुमाव द्वारा दूसरे चेहरे पर भेजा जा सकता है$C$ या एक प्रतिबिंब (जिसका विमान गुजरता है $C$) का है। ध्यान दें कि कोई आवश्यकता नहीं है कि यह घुमाव (+ प्रतिबिंब) पूरे ठोस को संरक्षित करे। के इस तरह के एक ठोस एक उदाहरण है जो है नहीं एक कैटलन ठोस है Gyrate deltoidal icositetrahedron ।
प्रश्न: क्या ठोस पदार्थों की एक सूची है जो छद्म-कैटलन हैं लेकिन कैटलन नहीं हैं? [अधिक सख्त: क्या गाइरेट डेल्टोइडल इकोसाइटेट्राहेड्रॉन के बगल में ऐसा कोई ठोस है?]
- ध्यान दें कि एक अंतिम श्रेणी होगी, जहां ठोस उत्तल होता है और सभी चेहरे सर्वांगसम होते हैं (उत्तल मोनोहेल्ड ठोस)। पिछली श्रेणी के साथ अंतर यह है कि अब अनुवाद की अनुमति है। विशेष रूप से, यह जांचने के लिए कि एक ठोस पिछली श्रेणी का है, की पसंद$C$(और तथ्य यह है कि सभी घुमाव और प्रतिबिंब इस बिंदु से विवश हैं) महत्वपूर्ण है। ऐसे ठोस पदार्थों के उदाहरण त्रिकोणीय त्रिभुजाकार प्रिज्म और जाइरोलेगॉनेटेड स्क्वायर डिपाइमरिड हैं ।
जवाब
यह टिप्पणियों का एक विस्तृत संस्करण है।
जैसा कि एम। विंटर ने बताया कि पॉलीहेड्रा का एक परिवार है$4k$(बिल फिट करने वाले चेहरे)$k=5$है)। इस मामले के लिए एक छवि है$k=4$ तथा $k=6$।
एक एंटीप्रिज्म से शुरू करें $k$-गगन (कम कहना $k$-ऑगन में समन्वय के साथ कोने होते हैं $(e^{i \pi (2j+1)k},0)$ और ऊपरी कोने $(e^{i \pi 2j k},h)$ कहां है $0 \leq j <k$ तथा $h$एक वास्तविक संख्या है; मैं के लिए जटिल संख्या का उपयोग कर रहा हूँ$x$ तथा $y$निर्देशांक)। प्रत्येक पर एक पिरामिड गोंद करें$k$-गन (पिरामिड की नोक पर हैं $(0,0,s)$ तथा $(0,0,h -s)$। केंद्र$C$ पर है $(0,0,\tfrac{h}{2})$।
त्रिभुजों के लिए एक बधाई लिखी जा सकती है $h$ के एक समारोह के रूप में $s$ (आईटी इस $h = \tfrac{ 2\cos(\pi/k)-1+s^2}{2s}$) है। अगर$k>3$, प्रत्येक चेहरे से समान दूरी पर होना आवश्यक है $C$ (अर्थात $C$ एक केंद्र का केंद्र होगा) का मान तय करेगा $s$ (आईटी इस $=\sqrt{2\cos(\pi/k)+1}$) है। उन चेहरों की बात जो दूरी को कम कर देती है$C$ कर रहे हैं [बल्कि, लग रहा है] त्रिकोण की परिधि (केवल इस के लिए जाँच की $k=4,6$ तथा $7$ [मैं सामान्य रूप से बीजगणित करने के लिए बहुत आलसी था $k$]]।
वहां से यह निम्नानुसार है कि ये ठोस छद्म-कैटलन हैं (वे कैटलन नहीं हो सकते हैं [यदि $k \neq 5$] के बाद से पिरामिड की नोक पर डिग्री की डिग्री है $k$ जबकि अन्य कोने में डिग्री 5 है। इसलिए कोई वैश्विक समरूपता नहीं है जो पिरामिड से एंटीप्रिज्म के लिए एक चेहरा भेजता है।
मुझे विश्वास है कि इन ठोस क्षेत्रों में एक बड़े परिवार के साथ त्रिभुज हैं। Trapezohedra (dipyramids के बजाय) पर आधारित एक समान निर्माण मजेदार होगा (लेकिन मुझे नहीं पता कि इस समय यह कैसे करना है)।
संपादित करें: मामला $k=3$एकवचन है: यदि आप चेहरे के विमानों को बलपूर्वक स्पर्श करने के लिए मजबूर करते हैं, तो आपको एक ट्रेपोज़हेड्रॉन (जिसका चेहरा रंबी होता है; अर्थात पिरामिड के त्रिकोण एंटीप्रिज़्म के साथ पूरी तरह से संरेखित करते हैं)। यदि आप शेष पैरामीटर का आगे उपयोग करते हैं ताकि निकटतम बिंदु$C$ प्रत्येक [त्रिकोणीय] चेहरे पर समान है, यह वास्तव में घन (!) देता है।
यहां एक और (और उम्मीद है कि सरल) उदाहरण है (हालांकि निश्चित रूप से संभव ठोस की पूरी सूची नहीं है)। एक ले लो$k$-Dipyramid (भूमध्यरेखीय कोने है $xy$-कॉर्डिनेट जो हैं $k^\text{th}$-सबसे एकता और $z=0$) है। पिरामिडों की युक्तियां बताइए$(0,0,\pm 1)$। कब$k$ सम है (इसलिए $k \geq 4$), कोई भी इस पिरामिड को विमान के साथ काट सकता है जो सुझावों और एकता की जड़ों से गुजरता है $\pm 1$। यह एक वर्ग के साथ द्विध्रुवीय को काटता है। अब दोनों टुकड़ों में से एक को 90 ° से घुमाएँ और वापस एक साथ चिपकाएँ। परिणामी ठोस (जो मुझे चाहिए, मुझे गाइरेट डिपिरिडिड कहा जाता है) आवश्यक शर्तों को पूरा करते हैं।
यह देखने के लिए कि ये कैटलान ठोस नहीं हैं (जब तक कि $k=4$, जो बस ऑक्टाडर को ले जा रहा है, इसे काट रहा है और एक साथ वापस रख रहा है) बस निरीक्षण करें कि दो प्रकार के चेहरे हैं: वे जो वर्ग को छूते हैं जहां गोंद हुआ और अन्य।
यहाँ के लिए कुछ तस्वीरें हैं $k=6$ तथा $k=8$।
