क्या निर्विवादता निर्णायक है?
जब ल्युरथ समस्या का उत्तर पुष्ट होता है, तो जीनस (घटता के लिए) या कैस्टेलुनोवो के मानदंड (अलग-अलग unirational सतहों के लिए) कम्प्यूटेशनल इनवेरिएंट देते हैं जो तय करते हैं कि क्या एक दी गई विविधता अनैच्छिक है।
मुझे सबसे सरल मामलों में दिलचस्पी है जहां गैर-तर्कसंगत उदाहरण ज्ञात हैं: अर्थात् सतहों पर $\overline{\mathbb{F}_p}$ और 3 गुना $\mathbb{C}$।
क्या यह ज्ञात है कि क्या उपरोक्त प्रकार की एक किस्म अनिरेशनल है या नहीं यह निर्धारित करने के लिए एक एल्गोरिथ्म मौजूद है?
एक भोली आशा एक तर्कसंगत नक्शे की डिग्री पर एक बाध्य उत्पादन होगा $\mathbb{P}^n \to X$ हालांकि यह तर्कसंगत नक्शे के बाद से स्पष्ट रूप से असंभव है $\mathbb{P}^n \to \mathbb{P}^n$ बिना पढ़े डिग्री है।
अगली सबसे अच्छी बात यह होगी कि इस तरह के तर्कसंगत नक्शे की न्यूनतम डिग्री पर एक कम्प्यूटेबल ऊपरी सीमा लगाई जाए। क्या ऐसे मामलों को मैं ऊपर उल्लिखित दो मामलों के लिए जाना जाता हूं? क्या एल्गोरिथ्म प्रदान करने के लिए इस तरह की सीमाएं पर्याप्त हैं, सिद्धांत रूप में?
जवाब
यह एक व्यापक रूप से अध्ययन की गई समस्या है, और मुझे लगता है कि वर्तमान तकनीक के साथ ऐसा लगता है कि इसका उत्तर नहीं मिलेगा। मुझे चारित्रिक रूप से चिपक जाने दो$0$सरलता के लिए; कहानी सकारात्मक विशेषता में बहुत समृद्ध हो जाती है (भले ही आप विशेषण 'अलग-अलग' हर जगह जोड़ते हैं)।
प्रासंगिक किस्में तर्कसंगत रूप से जुड़ी हुई हैं, जो बदले में निकलती हैं $H^0(X,(\Omega_X^1)^{\otimes m}) = 0$ सभी के लिए $m > 0$। ममफोर्ड ने अनुमान लगाया कि यह लुप्त हो जाना इसका तात्पर्य है$X$तर्कसंगत रूप से जुड़ा हुआ है, लेकिन मुझे लगता है कि इस अनुमान के बारे में बहुत कम जानकारी है। कम से कम यदि आप मानते हैं कि ममफोर्ड (और शायद एक बाध्य के साथ जिस पर$m$ आपको कोशिश करनी होगी, Castelnuovo की कसौटी के अनुरूप), फिर तर्कसंगत कनेक्टिविटी कुछ हद तक निर्णायक होनी चाहिए।
हालांकि, एक अच्छी तरह से ज्ञात खुली समस्या यह है कि क्या प्रत्येक तर्कसंगत रूप से जुड़ी विविधता अनिरेशनल है (मुझे लगता है कि लोग उम्मीद करते हैं कि यह गलत है - मैं निश्चित रूप से करता हूं)। इसका उत्तर हम यह नहीं दे सकते कि हमारे पास कोई रुकावट नहीं है जो दोनों के बीच अंतर कर सके। इसलिए, मुझे लगता है कि यह बहुत कम संभावना है कि हम एक लक्षण वर्णन दे सकते हैं जो यह तय करता है कि क्या कोई विविधता अनपेक्षित है।
मुझे यकीन नहीं है कि परिवारों में स्थिति अनियंत्रण पर क्या है, लेकिन (स्थिर) तर्कसंगतता हैसेट-पिरुतका-सेंचिंकल द्वारा चिकनी प्रक्षेप्य किस्मों की विकृति नहीं है । इसलिए असतत [अर्थात स्थानीय रूप से परिवारों में स्थिर] सह-विज्ञान लुप्त होने जैसे आक्रमणकारी (स्थिर) तर्कसंगतता का पता लगाने के लिए पर्याप्त नहीं हैं , और बहुत ही संभावना है कि यह अनैतिकता के लिए सच है।
सतहों के रूप में खत्म हो गया $\bar{\mathbf F}_p$, कुछ के 3 सतहें अनिरेशनल हैं, लेकिन अधिकांश नहीं हैं, इसलिए एक बार फिर यह एक विरूपण नहीं है। शिओदा ने अनुमान लगाया कि यदि$X$ एक बीजीय रूप से बंद क्षेत्र पर एक सतह है $k$ की विशेषता $p > 0$ साथ से $\pi_1^{\operatorname{\acute et}}(X) = 0$, तब फिर $X$ अनपेक्षित है अगर और केवल अगर $H^2_{\operatorname{cris}}(X/K)$ सुपरसिंगुलर है, यानी फ्रोबेनियस के सभी ढलान हैं $1$। (यह स्पष्ट रूप से एक आवश्यक शर्त है, क्योंकि$H^2_{\operatorname{cris}}(X/K) \hookrightarrow H^2_{\operatorname{cris}}(Y/K)$ इंजेक्शन है और Frobenius क्रियाओं को संरक्षित करता है यदि $Y \twoheadrightarrow X$चिकनी प्रोजेक्टिव किस्मों का एक प्रमुख मानचित्र है; देखें। उदाहरण के लिए क्लेमन के पेपर बीजगणितीय चक्र और डिक्स एक्सपोजेस में वेल कंज्यूमर्स ।
लेकिन अगर ऐसा होता है तो इसके बारे में कुछ भी नहीं कहा जाता है $\pi_1^{\operatorname{\acute et}}(X) \neq 0$, हालांकि इसे परिमित होना चाहिए और इसके क्रम को अविभाज्य बनाना होगा $p$(देखें चेम्बर-लोइर द्वारा यह नोट देखें )। तो आप पहले सार्वभौमिक कवर की गणना करने वाले हैं और फिर ढलानों की गणना करने वाले हैं - मुझे यकीन नहीं है कि ऐसा करने के लिए और अधिक प्रत्यक्ष तरीका है। शिओदा के अनुमान को मानते हुए यह एक मानदंड देता है।