क्यूबो, इज़िंग हैमिल्टन और वीक्यूए
मैं समझता हूं कि आमतौर पर कॉम्बीनेटरियल ऑप्टिमाइज़ेशन समस्याओं को क्यूओबीओ में बदल दिया जाता है, जिसमें इस्सिंग हैमिल्टन के लिए एक बहुत ही सरल मानचित्रण होता है। बदले में हैमिल्टन के लोगों में कम्प्यूटेशनल आधार में विकर्ण होने के वांछित गुण हैं और जमीनी राज्य कम्प्यूटेशनल आधार वैक्टर में से एक है। इस प्रकार कम्प्यूटेशनल आधार में राज्य को मापना और बिट स्ट्रिंग समाधान प्राप्त करना आसान है।
समस्या यह है कि Ising Hamiltonian और QUBO अपनी शर्तों में द्विघात हैं और अधिकांश 2 बॉडी इंटरैक्शन की अनुमति देता है। मैं हाल ही में पूर्णांक फैक्टरिंग के बारे में एक पेपर में आया था जिसे ऑप्टिमाइज़ेशन प्रॉब्लम के रूप में व्यक्त किया गया था ( केवल ४ क्विट के साथ ५६१५३ का क्वांटम फैक्टराइजेशन ), जहां लागत फ़ंक्शन एक तिहाई डिग्री बहुपद है। मैं इसे 2 बॉडी इंटरेक्शन को कम करने में सक्षम था और इस तरह समस्या को क्यूओओ बनाता है, इसे इस्सिंग हैमिल्टन में मैप करता हूं और आईबीए मशीनों पर क्यूएओए का उपयोग करके इसे हल करता हूं। हालांकि, डिग्री 3 से 2 डिग्री तक के बहुपद के बीच इस रूपांतरण से मुझे अतिरिक्त क्वाइल खर्च करने पड़ते हैं।
जब आपके पास 3/4 बॉडी इंटरैक्शन होते हैं, तो सामान्य दृष्टिकोण क्या होता है, उदाहरण के लिए इस पेपर में जो मैंने जोड़ा है? इस के लेखक, साथ ही साथ पिछले कार्यों के लेखक जो वे उद्धृत करते हैं, इस तथ्य से चिंतित नहीं हैं कि यह क्यूबो नहीं है। क्या इस तरह के मामलों में इसिंग हैमिल्टन और क्यूबों के विकल्प हैं? क्या यह सही है कि हम QAOA / VQE के लिए हैमिल्टनियन (जरूरी नहीं) के किसी भी रूप का उपयोग कर सकते हैं जब तक कि यह पाउली जेड ऑपरेटरों के दसियों उत्पादों में विघटित न हो (जो इसे कम्प्यूटेशनल आधार में विकर्ण बनाता है)?
जवाब
इस पत्र की परिभाषा में [ 1 ] हैमिल्टन की लागत इज़िंग हैमिल्टन के मामले तक ही सीमित नहीं है। पेपर [ 1 ] में उल्लेखित "सामान्य दृष्टिकोण" के लिए एक उत्तर भी है$3/4$ ($n$) शरीर बातचीत "।
[ 1 ] से एक प्रत्यक्ष उद्धरण :
एक शास्त्रीय लागत फ़ंक्शन से जो बाइनरी चर में एक बहुपद है $x_1 , . . . , x_n $, हम एक हैमिल्टन का निर्माण कर सकते हैं $H_C$ पर $n$ चरों के संदर्भ में लागत फ़ंक्शन को फिर से लिखना द्वारा qubits $z_i \in \{−1, 1 \}$, कहाँ पे $x_i = (1 − z_i )/2$ एक बहुपद प्राप्त करने के लिए $f (z) = \sum_{C \subset \{1,...n\}} \alpha_C \prod_{j \in C} z_j$ और फिर के प्रत्येक भेदन की जगह $z_i$ पाउली ऑपरेटर के साथ $\sigma_i^z$। इस प्रकार,$H_C$ में विकर्ण है $\sigma_z$-बासिस और रूप लेता है
$$H_C = \sum_{C \subset \{1,...,n\}} \alpha_C \bigotimes_{j \in C} \sigma_i^z \tag{2}$$
कहाँ पे $C$ सभी बटेरों का सबसेट है, और $\alpha_C$ सबसेट में qubits के बीच कई-शरीर युग्मन के लिए एक वास्तविक गुणांक है $C$।
इसका मतलब है कि यदि हमारे पास एक शास्त्रीय लागत कार्य है$f(x) = 4 x_1 +6x_1 x_2 - 2x_2 x_3 x_4$, हमें प्रतिस्थापित करना चाहिए $x$के साथ है $z$s और प्राप्त करें:
$$f(z) = 2(1 - z_1) + 3 (1 - z_1) (1 - z_2) - (1 - z_2) (1 - z_3) (1 - z_4)$$
सरल करने के बाद प्रतिस्थापित करें $z$के साथ है $\sigma_z$है:
$$H_C = 4 I - 5 \sigma_1^z - 2 \sigma_2^z + \sigma_3^z + \sigma_4^z + 3 \sigma_1^z \sigma_2^z -\sigma_2^z \sigma_3^z -\sigma_3^z \sigma_4^z -\sigma_2^z \sigma_4^z + \sigma_2^z \sigma_3^z \sigma_4^z$$
और हो गया। ध्यान दें कि यह प्रक्रिया QUBO के लिए भी काम करेगी$\rightarrow$Ising Hamiltonian (यह उत्तर देखें )। इस तरह से हम वांछित (QAOA में) संपत्ति के साथ हैमिल्टन की लागत का निर्माण करने में सक्षम होंगे:
$$H_C |x\rangle = f(x)|x\rangle$$
कहाँ पे $x = x_1 x_2 x_3 x_4$ एक बिटस्ट्रिंग है।
लागत हैमिल्टन के साथ का एक उदाहरण$3$E3LIN2 समस्या ([ 2 ] Eq के लिए इस पेपर [ 2 ] में बटनों के बीच किसी को कपलिंग मिल सकती है ।$6$ थोड़ी बदली हुई सूचनाओं के साथ):
$$ H_C = \frac{1}{2} \sum_{a < b < c} d_{abc} \sigma_a^z \sigma_b^z \sigma_c^z \tag{6}$$
कहाँ पे $d_{abc}$ है $0$ या $+1$ या $-1$, $a$, $b$ तथा $c$ क्यूब इंडेक्स हैं।
[ १ ] जेड वैंग, एस। हेडफील्ड, जेड। जियांग, ईजी रिफ़ेल, "मैक्समुट के लिए क्वांटम अप्रत्यक्ष अनुकूलन एल्गोरिथम: ए फ़ेरोमेनिक व्यू"
[ २ ] ई। फरही, जे। गोल्डस्टोन, एस। गुटमैन, "एक क्वांटम अनुमानित अनुकूलन एल्गोरिथम एक बंधी हुई समस्या बाधा समस्या के लिए लागू"