लगभग एक फूरियर रूपांतरण

Jan 03 2021

मान लीजिए कि फूरियर रूपांतरण $\hat{f}(k)$ (साथ से $k \in \mathbb{R}^d$) दिया जाता है, और एक अपने स्थान-स्थान समकक्ष के बारे में कुछ जानकारी प्राप्त करने का इरादा रखता है $f(x)$। जब उल्टा फूरियर रूपांतरण की विश्लेषणात्मक गणना$\hat{f}(k)$ यह संभव नहीं है, एक अभी भी विशिष्ट क्षेत्रों में विशेषज्ञता प्राप्त करके उपयोगी जानकारी निकालने में सक्षम हो सकता है $k$अंतरिक्ष; उदाहरण के लिए, सांख्यिकीय भौतिकी में, अक्सर "macroscopic" गुणों का अध्ययन करने के लिए प्रथागत है, उदाहरण के लिए, सहसंबंध कार्य, परीक्षण करके$k\to 0$उनके फूरियर रूपांतरण की सीमा। यह मुझे प्रतीत होता है कि ऐसी प्रक्रिया कुछ हद तक एक फूरियर ट्रांसफॉर्म की टेलर श्रृंखला को देखने के लिए समरूप है , अर्थात, \ {{समीकरण} \ h {f} (k) = \ hat {f} \ big \ rvert_ {k = शुरू करें। 0} + k \ आंशिक_के \ _ {टोपी} \ बड़े \ rvert_ {के = 0} + \ ldots \ end {समीकरण} यदि कोई इस श्रृंखला को छोटा करता है और फिर उस पर उलटा फूरियर परिवर्तन करने की कोशिश करता है;$$ \int \frac{dk}{2\pi} e^{ikx} \hat{f}_{\rm trunc}(k), $$ कुछ मामलों में किसी को लग सकता है कि परिणाम के रूप में बदल जाता है $k\to\infty$। हालांकि, कई सिद्धांतों में, और विशेष रूप से क्षेत्र सिद्धांतों में, के लिए एक ऊपरी कटऑफ है$k$जो उस सिद्धांत की वैधता की सीमा निर्धारित करता है; ऐसा कटऑफ अक्सर उलटा फूरियर रूपांतरण के संभावित विचलन को हल करता है।

प्रश्न क्या स्थिति-स्थान फ़ंक्शन जो कि काटे गए टेलर श्रृंखला के व्युत्क्रम परिवर्तन से प्राप्त होता है$\hat{f}_{\rm trunc}$, कुछ कटऑफ के साथ $\Lambda$, मूल फ़ंक्शन को अनुमानित करें$f(x)$किसी भी मायने में अन्यथा, इसके फूरियर रूपांतरण से इस तरह के अनुमानित रूप को प्राप्त करने का एक व्यवस्थित तरीका है$\hat{f}(k)$?

जवाब

G.Carugno Jan 13 2021 at 19:53

जब आप टेलर विस्तार को चारों ओर से काटते हैं $0$, आप कह रहे हैं कि आप लंबी तरंग दैर्ध्य वाले मोड में रुचि रखते हैं। ये अक्सर ऐसे मोड होते हैं जो लंबे समय तक जीवित रहते हैं, ताकि लंबे समय तक वे लगभग आपके सिस्टम का वर्णन करेंगे। आत्मा में, यह एक मोटे अनाज की तरह है: आप तेजी से सूक्ष्म गतिशीलता के बारे में भूल जाते हैं और केवल मैक्रोस्कोपिक जानकारी को बनाए रखते हैं। अधिक कठोर अर्थों में, एक के पास है$|| \mathcal{F}^{-1} [\hat f_{trunc}](x) - f(x) ||_2 = || \hat f_{trunc}(k) - \hat f (k) ||_2$, इसलिए यदि आपके फूरियर रूपांतरण का अनुमान अच्छा है $L^2$ भावना तो यह स्थिति स्थान का सन्निकटन होगी $f(x)$