लैम्बर्ट के लिए कम बाध्य $W$ समारोह $W_0(x)$

Question

मैं शाखा के लिए एक निचली सीमा खोजना चाहता हूं $W_0(x)$ लैम्बर्ट की $W$ फ़ंक्शन, वास्तविक मानों के लिए श्रेणी में $-\frac{1}{e} \leq x \leq 0$। यह स्पष्ट है कि$-1$ उपर्युक्त सीमा में इस कार्य के लिए एक निचली सीमा है, लेकिन मुझे थोड़ी सी छोटी निचली सीमा की आवश्यकता है।

क्या कोई केवल प्रारंभिक कार्यों का उपयोग करके इस फ़ंक्शन के लिए बेहतर निचली सीमा प्रदान कर सकता है?

Answer 1

$\require{begingroup} \begingroup$ $\def\e{\mathrm{e}}\def\W{\operatorname{W}}\def\Wp{\operatorname{W_0}}\def\Wm{\operatorname{W_{-1}}}\def\Catalan{\mathsf{Catalan}}$

ऐसा लग रहा है

\begin{align} f_1(x)&=\frac{1-\sqrt{1-(\e x)^2}}{\e x} \tag{1}\label{1} \end{align}

के लिए थोड़ा बेहतर है $\Wp(x)$ पर $x\in[-\tfrac1\e,0]$, से \begin{align} f_2(x)&=\sqrt{\e x+1}-1 \tag{2}\label{2} \end{align}

$\endgroup$